视频字幕
微积分学是现代数学的基石，由微分学和积分学两大分支组成。微分学研究函数在某点的瞬时变化率，也就是导数，几何上表示为曲线的切线斜率。积分学则研究曲线与坐标轴围成的面积，以及更广泛的累积量。这两个概念看似不同，实际上通过微积分基本定理紧密联系，互为逆运算。
导数是微分学的核心概念，定义为函数在某点处的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是曲线在该点的切线斜率。我们通过极限过程来定义导数：当自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量增量比值的极限。基本函数都有对应的求导公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数。掌握这些基本公式和求导法则，是进行积分计算的重要基础。
积分的本质是求曲线下的面积。我们通过矩形逼近法来理解定积分的定义：将区间分成若干小段，用矩形面积近似曲线下的面积，当分割越来越细时，矩形面积之和趋于曲线下的真实面积。不定积分是原函数的概念，如果F的导数等于f，那么F就是f的一个原函数。牛顿-莱布尼茨公式建立了定积分与不定积分的联系，这是微积分基本定理的核心内容。
普通积分的计算有多种方法。直接积分法是最基本的方法，直接利用基本积分公式求解。换元积分法分为两类：第一类换元法适用于被积函数是复合函数的情况，第二类换元法包括三角换元、根式换元等。分部积分法用于处理两个函数乘积的积分，公式是积分u乘dv等于uv减去积分v乘du。对于有理函数，我们使用部分分式分解的方法。掌握这些方法和常用的积分公式表，是进行积分计算的基础。
广义积分扩展了定积分的概念，包括两种类型。第一类是无穷积分，积分区间延伸到无穷远，通过极限过程来定义。第二类是瑕积分，被积函数在积分区间内某点处趋于无穷，这样的点称为奇点或瑕点。广义积分的关键是判断其收敛性，即极限是否存在且有限。我们可以通过比较判别法、极限判别法等方法来判断广义积分的收敛性。理解奇点的性质和处理方法，对于正确计算广义积分至关重要。