14.1 数系的扩充和复数的概念 **🔍 重要性：** 复数是数系的重要扩充，具有重要的理论和应用价值 **核心要点：** - 数系扩充的必要性 - 复数的定义 - 复数的分类 - 复数相等的条件 **数系的扩充：** ``` 自然数 N → 整数 Z → 有理数 Q → 实数 R → 复数 C 扩充的原因： - 解决运算的封闭性问题 - 满足代数方程求解的需要 - 完善数学理论体系 ``` **复数的定义：** 1. **代数形式：** ``` z = a + bi (a, b ∈ R) 其中： - a叫做复数z的实部，记作Re(z) = a - b叫做复数z的虚部，记作Im(z) = b - i叫做虚数单位，规定i² = -1 ``` 2. **复数的分类：** ``` 实数：b = 0时，z = a 虚数：b ≠ 0时，z = a + bi 纯虚数：a = 0, b ≠ 0时，z = bi ``` 3. **复数相等：** ``` a + bi = c + di ⟺ a = c且b = d 特别地：a + bi = 0 ⟺ a = 0且b = 0 ```

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数系的扩充是数学发展的重要历程。从自然数开始，为了解决减法运算的封闭性，我们扩充到整数。为了解决除法运算，扩充到有理数。为了解决开方运算，扩充到实数。最后，为了解决负数开方问题，我们需要扩充到复数。每次扩充都解决了特定的数学问题，使数学理论更加完善。 在实数范围内，方程x的平方等于负1没有解。为了解决这个问题，数学家引入了虚数单位i，规定i的平方等于负1。虚数单位i有着特殊的性质：i的1次方等于i，i的2次方等于负1，i的3次方等于负i，i的4次方等于1。这样，i的幂次呈现出周期性，每4次幂重复一次循环。 复数的代数形式定义为z等于a加bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。在这个表示中，a叫做复数z的实部，记作Re(z)等于a；b叫做复数z的虚部，记作Im(z)等于b。复数可以在复平面上直观表示，横轴是实轴，纵轴是虚轴。例如，3加2i对应点(3,2)，负1加4i对应点(负1,4)，5减3i对应点(5,负3)。 复数可以根据实部和虚部的取值情况进行分类。当虚部b等于0时，复数z等于a，这就是实数，如3、负2、二分之一等。当虚部b不等于0时，复数z等于a加bi，这就是虚数，如1加2i、负3加i等。特别地，当实部a等于0且虚部b不等于0时，复数z等于bi，这叫做纯虚数，如2i、负5i等。在复平面上，实数分布在实轴上，纯虚数分布在虚轴上，一般的虚数分布在其他区域。 复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等。即a加bi等于c加di，当且仅当a等于c且b等于d。特别地，a加bi等于0，当且仅当a等于0且b等于0。让我们看一个例题：若(2x减1)加(y加3)i等于5加2i，求x和y的值。根据复数相等条件，实部相等得到2x减1等于5，解得x等于3；虚部相等得到y加3等于2，解得y等于负1。