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我们来分析函数f(x)等于根号下ax平方加2ax加1的定义域问题。要使函数的定义域为全体实数R，根号内的表达式ax平方加2ax加1必须对所有实数x都大于等于0。这就是我们需要解决的核心问题。
我们来回顾二次函数恒非负的条件。对于二次函数g(x)等于ax平方加2ax加1，当a大于0时，抛物线开口向上，要使函数恒非负，需要判别式小于等于0。当a等于0时，函数变为常函数，需要常数项大于等于0。当a小于0时，抛物线开口向下，函数不可能恒非负。
当a大于0时，我们需要计算判别式。判别式等于2a的平方减去4乘以a乘以1，即4a平方减4a。要使判别式小于等于0，即4a平方减4a小于等于0，提取公因子得到4a乘以a减1小于等于0。由于a大于0，所以需要a减1小于等于0，即a小于等于1。结合a大于0的条件，得到0小于a小于等于1。
现在验证a等于0的情况。当a等于0时，原函数变为f(x)等于根号下0乘以x平方加2乘以0乘以x加1，化简后得到f(x)等于根号1等于1。这是一个常函数，对于任意实数x，函数值都等于1，因此定义域确实为全体实数R。所以a等于0满足条件。
当a小于0时，抛物线开口向下，必然存在某些x值使得ax平方加2ax加1小于0，导致根号内为负数，函数无定义。例如当a等于负1时，函数变为g(x)等于负x平方减2x加1，这是一个开口向下的抛物线，顶点在负1逗号2，在两侧必然有负值区域。因此a小于0不符合要求。