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割圆术是中国古代数学家刘徽在公元三世纪提出的一种计算圆周率的巧妙方法。这个方法的核心思想非常直观：用正多边形来逼近圆形。当我们不断增加正多边形的边数时，多边形的周长就会越来越接近圆的周长，从而可以计算出更加精确的圆周率数值。
割圆术的基本原理建立在一个简单而深刻的数学思想上：当我们增加正多边形的边数时，多边形会越来越接近圆形。让我们从正六边形开始观察这个过程。当边数加倍变成正十二边形时，多边形明显更接近圆形了。继续加倍到正二十四边形，我们可以看到多边形几乎与圆形重合。这种逼近方法体现了古代中国数学家的智慧。
割圆术的数学推导基于几何关系建立递推公式。设圆的半径为r，正n边形的边长为an。要得到正2n边形的边长，我们需要利用几何中的勾股定理。通过作辅助线，从圆心到边的中点，可以建立三角关系。最终得到递推公式：正2n边形的边长等于根号下2r平方减去r乘以根号下4r平方减去an平方。这个公式是割圆术计算的核心。
让我们通过具体数值来演示割圆术的计算过程。设圆的半径为1，从正六边形开始。正六边形的边长等于半径，即1，周长为6，得到圆周率约等于3。接下来计算正十二边形，边长约为0.518，周长约6.211，圆周率约为3.106。继续到正二十四边形，边长约0.261，周长约6.265，圆周率约为3.133。随着边数增加，我们得到越来越精确的圆周率值，最终可以达到3.14159的精度。
刘徽使用割圆术取得了令人瞩目的成就。他一直计算到正192边形，得到圆周率约等于3.14159，精确到小数点后四位。这个结果在当时是世界上最精确的圆周率数值。让我们看看同时期世界各地的情况：古希腊大约在公元250年得到圆周率约3.14，古印度在公元300年左右得到约3.16，而中国的刘徽在公元263年就已经达到了3.14159的精度，充分展现了中国古代数学的先进水平和刘徽的卓越贡献。