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拓扑学是现代数学的重要分支，研究在连续变形下保持不变的几何性质。拓扑空间由集合X和其上的拓扑T组成，满足三个基本公理：空集和全集属于拓扑，任意并集属于拓扑，有限交集属于拓扑。
常见的拓扑结构包括离散拓扑，其中每个子集都是开集；平凡拓扑，只有空集和全集是开集；以及实数轴上的标准拓扑，由开区间生成。这些不同的拓扑结构为我们提供了研究连续性和收敛性的不同框架。
连续映射是拓扑学的核心概念。映射f从拓扑空间X到Y是连续的，当且仅当Y中每个开集的逆像在X中也是开集。这个定义完全用拓扑结构来刻画连续性，不依赖于距离概念。
同胚映射是既连续又有连续逆映射的双射，它建立了两个拓扑空间之间的等价关系。圆周与正方形边界同胚，开区间与整个实数轴同胚。同胚保持所有拓扑性质不变，如连通性和紧致性，这些被称为拓扑不变量。
紧致性是拓扑学中最重要的概念之一。紧致空间定义为每个开覆盖都有有限子覆盖的空间。在欧几里得空间中，Heine-Borel定理告诉我们，紧致等价于有界且闭合。这个概念将有限性引入到无限维的拓扑结构中。
紧致空间具有许多重要性质。从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射是闭映射，紧致空间上的连续函数必定达到最大值和最小值。Tychonoff定理更是告诉我们，任意多个紧致空间的乘积仍然紧致，这个结果需要选择公理的支持，展现了集合论在拓扑学中的深刻作用。