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研究生级微积分建立在严格的理论基础之上。我们从epsilon-delta定义开始，精确定义函数的极限。对于任意小的epsilon，都存在相应的delta，使得当x在a的delta邻域内时，函数值f(x)就在L的epsilon邻域内。连续性要求极限值等于函数值，而可微性则通过差商的极限来定义导数。
多元函数微分学将一元函数的概念推广到多个变量。偏导数描述函数沿某一坐标轴方向的变化率，保持其他变量不变。全微分表示函数的线性近似，而梯度向量指向函数增长最快的方向。方向导数则给出函数沿任意方向的变化率，等于梯度与单位方向向量的数量积。
隐函数定理是多元微积分的重要定理，它给出了隐函数存在和可微的充分条件。当函数F对y的偏导数不为零时，方程F等于零在局部确定了y关于x的函数关系。雅可比行列式非零保证了隐函数的存在性。隐函数的导数可以通过偏导数的比值来计算，这在几何上对应于曲线的切线斜率。