--- 列求和讲解字幕 同学们好，今天咱们来解决这个数列求和的问题：2 + 4 + 8 + 14 + 22 + 32 + 44 + \cdots + n ，分三步来搞定它~ 一、找相邻两项差的规律 先看原数列 2,4,8,14,22,32,44,\cdots ，算相邻两项的差： 4 - 2 = 2，8 - 4 = 4，14 - 8 = 6，22 - 14 = 8…… 发现这些差是 2,4,6,8,\cdots ，构成首项为2、公差为2的等差数列，记为\{b_{m}\}（m是差的序号 ）。 二、推导原数列通项公式 设原数列为\{a_{n}\}（n是项数 ），a_{1}=2 。 观察规律： a_{2}=a_{1}+2 a_{3}=a_{2}+4 = a_{1}+2 + 4 a_{4}=a_{3}+6 = a_{1}+2 + 4 + 6 …… a_{n}=a_{1}+2 + 4 + 6 + \cdots + 2(n - 1) 这里2 + 4 + 6 + \cdots + 2(n - 1) ，是首项2、末项2(n - 1)、项数n - 1的等差数列求和。 用等差数列求和公式“和=（首项+末项）\times项数\div2”，代入得： \begin{align*} & \frac{[2 + 2(n - 1)]\times(n - 1)}{2} \\ &=\frac{(2n)\times(n - 1)}{2} \\ &=n(n - 1) \\ &=n^{2}-n \end{align*} 因为a_{1}=2 ，所以原数列通项公式：a_{n}=n^{2}-n + 2 三、求前n项和S_{n} S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{n} ，把a_{k}=k^{2}-k + 2（k从1到n ）代入，拆成三部分求和： 1. 平方数部分：1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2} ，用公式\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}（小学可通过找规律归纳得出 ）。 2. 一次项部分：-(1 + 2 + \cdots +n) ，这是首项1、末项n的等差数列，和为\frac{n(n + 1)}{2} 。 3. 常数项部分：2 + 2 + \cdots + 2（共n个2 ），和为2n 。 把三部分代入计算： \begin{align*} S_{n}&=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}-\frac{n(n + 1)}{2}+2n \\ &=\frac{n(n^{2}+5)}{3} \end{align*} 所以，2 + 4 + 8 + \cdots + n 的和就是\boldsymbol{\frac{n(n^{2}+5)}{3}} ，你学会了吗？

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同学们好，今天我们来解决这个数列求和问题：2加4加8加14加22加32加44等等。我们分三步来搞定它。第一步是找相邻两项差的规律。先看原数列2、4、8、14、22、32、44等等，我们来算相邻两项的差：4减2等于2，8减4等于4，14减8等于6，22减14等于8，32减22等于10，44减32等于12。发现这些差是2、4、6、8、10、12等等，构成首项为2、公差为2的等差数列。 第二步是推导原数列通项公式。设原数列为a下标n，a1等于2。观察规律：a2等于a1加2，a3等于a2加4等于a1加2加4，a4等于a3加6等于a1加2加4加6，以此类推，an等于a1加2加4加6一直加到2倍的n减1。这里2加4加6一直加到2倍的n减1，是首项2、末项2倍的n减1、项数n减1的等差数列求和。用等差数列求和公式，首项加末项乘以项数除以2，代入得到2加2倍的n减1乘以n减1除以2，等于2n乘以n减1除以2，等于n乘以n减1，等于n的平方减n。因为a1等于2，所以原数列通项公式是an等于n的平方减n加2。 第三步是求前n项和Sn。Sn等于a1加a2一直加到an，把ak等于k的平方减k加2代入，拆成三部分求和。第一部分是平方数求和：1的平方加2的平方一直加到n的平方，用公式n乘以n加1乘以2n加1除以6。第二部分是一次项求和：负的1加2一直加到n，这是首项1、末项n的等差数列，和为n乘以n加1除以2。第三部分是常数项求和：2加2一直加2，共n个2，和为2n。把三部分代入计算：Sn等于n乘以n加1乘以2n加1除以6，减去n乘以n加1除以2，加上2n。经过化简计算，最终得到Sn等于n乘以n的平方加5除以3。 现在我们来验证公式的正确性并总结解题方法。我们得到的公式是Sn等于n乘以n的平方加5除以3。让我们验证一下：当n等于3时，原数列前3项的和是2加4加8等于14。用公式计算：S3等于3乘以3的平方加5除以3，等于3乘以14除以3，等于14，验证正确。当n等于4时，原数列前4项的和是2加4加8加14等于28。用公式计算：S4等于4乘以4的平方加5除以3，等于4乘以21除以3，等于28，验证正确。总结我们的三步解题法：第一步找差数列规律，第二步推导通项公式，第三步分组求和。这种方法适用于处理类似的数列求和问题。所以，2加4加8一直加到n的和就是n乘以n的平方加5除以3，你学会了吗？ 让我们完整回顾一下这个数列求和的解题过程。问题是求2加4加8加14加22加32加44等等的和。我们用三步法解决：第一步，找相邻两项差的规律，得到差数列2、4、6、8、10、12等等，这是首项为2、公差为2的等差数列。第二步，推导通项公式，通过递推关系得到an等于n的平方减n加2。第三步，分组求和，将Sn分解为平方数求和、一次项求和和常数项求和三部分，最终得到Sn等于n乘以n的平方加5除以3。关键思路是通过观察相邻项差的规律来建立递推关系。掌握这种方法，你就能解决更多类似的数列问题！希望同学们能够熟练运用这个解题技巧。