12.3 导数在研究函数中的应用 **🔍 重要性：** 这是导数最重要的应用，高考的重点内容 **核心要点：** - 函数的单调性 - 函数的极值 - 函数的最值 - 函数图像的凹凸性 **函数的单调性：** 1. **判定定理：** ``` 设函数f(x)在区间(a,b)内可导： - 若f'(x) > 0，则f(x)在(a,b)内单调递增 - 若f'(x) < 0，则f(x)在(a,b)内单调递减 - 若f'(x) = 0，则f(x)在(a,b)内为常函数 ``` 2. **求单调区间的步骤：** ``` ① 求函数的定义域 ② 求导数f'(x) ③ 求f'(x) = 0的解，得到可能的分界点 ④ 列表分析f'(x)的符号 ⑤ 确定单调区间 ``` **函数的极值：** 1. **极值的定义：** ``` 极大值：存在δ > 0，使得对任意x ∈ (x₀-δ, x₀+δ) 都有f(x) ≤ f(x₀) 极小值：存在δ > 0，使得对任意x ∈ (x₀-δ, x₀+δ) 都有f(x) ≥ f(x₀) ``` 2. **求极值的方法：** ``` 方法一（第一判定定理）： ① 求f'(x) = 0的解 ② 检查f'(x)在零点两侧的符号变化 - 若从正变负，则为极大值点 - 若从负变正，则为极小值点 方法二（第二判定定理）： 若f'(x₀) = 0且f''(x₀) ≠ 0 - f''(x₀) < 0，则x₀是极大值点 - f''(x₀) > 0，则x₀是极小值点 ``` **函数的最值：** 1. **闭区间上的最值：** ``` 步骤： ① 求函数在区间内的极值点 ② 计算函数在极值点和端点的函数值 ③ 比较这些函数值，确定最大值和最小值 ``` 2. **开区间或无穷区间上的最值：** ``` - 结合函数的单调性和极值 - 考虑函数的渐近行为 - 利用函数图像进行分析 ``` **函数图像的凹凸性：** 1. **定义：** ``` 设f(x)在区间I上二阶可导： - 若f''(x) > 0，则f(x)的图像在I上是凹的（向上凸） - 若f''(x) < 0，则f(x)的图像在I上是凸的（向下凸） ``` 2. **拐点：** ``` 连续曲线上凹凸性改变的点称为拐点 拐点的必要条件：f''(x) = 0或f''(x)不存在 ```