导数的计算 **🔍 重要性：** 熟练的导数计算是应用导数的基础 **核心要点：** - 基本函数的导数公式 - 导数运算法则 - 复合函数求导法则 - 隐函数求导 **基本函数的导数：** ``` 常用导数公式： (C)' = 0 (C为常数) (x^n)' = nx^(n-1) (sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x (tan x)' = sec²x (e^x)' = e^x (a^x)' = a^x ln a (ln x)' = 1/x (log_a x)' = 1/(x ln a) ``` **导数运算法则：** 1. **四则运算法则：** ``` (u ± v)' = u' ± v' (uv)' = u'v + uv' (积的导数) (u/v)' = (u'v - uv')/v² (商的导数，v ≠ 0) ``` 2. **复合函数求导法则（链式法则）：** ``` 设y = f(u), u = g(x)，则： dy/dx = dy/du · du/dx 即：[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) ``` **隐函数求导：** 1. **方法：** ``` 对方程两边同时对x求导 注意y是x的函数，求y的导数时要用链式法则 ``` 2. **示例：** ``` 例：求由x² + y² = 1确定的隐函数y = y(x)的导数 解：两边对x求导 2x + 2y·y' = 0 所以 y' = -x/y (y ≠ 0) ``` **💡 计算技巧：** - 先化简再求导，能简化计算 - 灵活运用公式，选择合适的求导方法 - 注意定义域，导数可能在某些点不存在

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导数计算的基础是掌握基本函数的导数公式。常数的导数为零，幂函数x的n次方的导数是n倍x的n减1次方。三角函数中，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负正弦函数。指数函数e的x次方的导数是它本身，自然对数函数的导数是x分之一。这些公式是所有导数计算的基石。 导数的四则运算法则是处理复杂函数的关键工具。和差法则最简单，两函数和差的导数等于导数的和差。积的导数法则是u撇v加u乘v撇，这个公式需要牢记。商的导数法则是分子u撇v减uv撇，分母是v的平方。让我们通过x平方乘正弦x这个例子来演示积的导数法则的应用过程。 链式法则是处理复合函数求导的核心方法。如果y是u的函数，u是x的函数，那么y对x的导数等于y对u的导数乘以u对x的导数。以正弦2x为例，设u等于2x，y等于正弦u，那么u对x的导数是2，y对u的导数是余弦u，所以最终结果是2倍余弦2x。对于e的x平方次方，同样可以用链式法则，结果是2x倍e的x平方次方。 隐函数求导用于处理无法显式表达y关于x的函数关系。基本方法是对方程两边同时对x求导，注意y是x的函数，求y的导数时要用链式法则。以圆的方程x平方加y平方等于1为例，两边求导得到2x加2y乘y撇等于0，解得y撇等于负x除以y。对于双曲线xy等于1，用积的导数法则得到y加x乘y撇等于0，解得y撇等于负y除以x。 掌握实用技巧可以提高导数计算的效率和准确性。首先要先化简再求导，这样可以避免复杂的计算。其次要合理选择求导方法，比如对于复杂的分式函数，可以先进行代数变形。还要注意函数的定义域，导数可能在某些点不存在。对于包含三角函数的复合函数，可以利用三角恒等式进行化简。通过这个综合例题可以看到，合理的化简和方法选择能大大简化计算过程。