导数概念及其几何意义 **🔍 重要性：** 导数是微积分的核心概念，是研究函数性质的重要工具 **核心要点：** - 导数的定义 - 导数的几何意义 - 切线方程 - 导数的物理意义 **导数的定义：** 1. **极限定义：** ``` f'(x₀) = lim[h→0] [f(x₀+h) - f(x₀)]/h 或者：f'(x₀) = lim[Δx→0] Δy/Δx ``` 2. **函数在一点处的导数：** ``` 导数存在的充要条件： 左导数 = 右导数 f'₋(x₀) = lim[h→0⁻] [f(x₀+h) - f(x₀)]/h f'₊(x₀) = lim[h→0⁺] [f(x₀+h) - f(x₀)]/h ``` **几何意义：** 1. **切线的斜率：** ``` 函数y = f(x)在点(x₀, f(x₀))处的导数f'(x₀) 就是曲线在该点处切线的斜率 切线方程：y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀) ``` 2. **法线方程：** ``` 当f'(x₀) ≠ 0时，法线斜率为 -1/f'(x₀) 法线方程：y - f(x₀) = -1/f'(x₀) · (x - x₀) ``` **物理意义：** 1. **瞬时速度：** ``` 位移函数s = s(t)的导数s'(t)表示瞬时速度 v(t) = s'(t) ``` 2. **瞬时加速度：** ``` 速度函数v = v(t)的导数v'(t)表示瞬时加速度 a(t) = v'(t) = s''(t) ``` **💡 应用技巧：** - 利用定义求导主要用于证明和特殊函数 - 几何应用重点是切线和法线方程 - 物理应用注重实际意义的理解