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G函数是一个特殊的函数概念。定义为：将函数y等于f(x)的图像绕坐标原点O逆时针旋转π/4后，所得到的曲线仍然是某个函数的图像。这意味着旋转后的曲线必须满足函数的基本性质，即对任意x值只有唯一的y值对应，也就是能够通过垂直线测试。
现在我们推导点的旋转变换公式。对于平面上的点(x,y)，绕原点逆时针旋转π/4的变换可以用旋转矩阵表示。旋转矩阵的元素是cosπ/4和sinπ/4，它们都等于√2/2。通过矩阵乘法，我们得到新坐标：x'等于(x减y)除以√2，y'等于(x加y)除以√2。以点(2,1)为例，旋转后得到点(√2/2, 3√2/2)。
现在分析旋转后曲线仍为函数图像的数学条件。设原函数上有两点(x₁,f(x₁))和(x₂,f(x₂))，它们旋转后的坐标分别为((x₁-f(x₁))/√2, (x₁+f(x₁))/√2)和((x₂-f(x₂))/√2, (x₂+f(x₂))/√2)。为了保证旋转后仍是函数，关键条件是：如果两个旋转后的点有相同的x'坐标，那么它们必须有相同的y'坐标。这转化为：如果x₁减f(x₁)等于x₂减f(x₂)，那么x₁加f(x₁)必须等于x₂加f(x₂)。
现在我们分析具体函数f(x)等于k乘以(x加1)除以e的x次方。首先计算导数：f'(x)等于负kx除以e的x次方。当k大于0时，令f'(x)等于0得到x等于0。在x小于0时f'(x)大于0函数递增，在x大于0时f'(x)小于0函数递减，所以x等于0是极大值点。函数在x等于0处取得最大值k。这个性质对后续分析k的取值范围很重要。
现在建立G函数条件与参数k的具体关系。根据前面的分析，f(x)成为G函数的充要条件是：1加f'(x)大于等于0对所有x成立。将f'(x)等于负kx除以e的x次方代入，得到1减kx除以e的x次方大于等于0，即kx除以e的x次方小于等于1。这意味着函数g(x)等于kx除以e的x次方的最大值不能超过1。计算g'(x)，当k大于0时，g(x)在x等于1处取得极大值k除以e。