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椭圆是平面几何中的重要曲线。它的定义是：平面上到两个定点距离之和为常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点。椭圆的标准方程是x²除以a²加上y²除以b²等于1，其中a是长半轴，b是短半轴。椭圆具有对称性，这为我们计算面积提供了便利。
要求椭圆的面积，我们可以利用椭圆的对称性。椭圆关于x轴和y轴都对称，因此四个象限的面积相等。我们可以先求出第一象限的面积，然后乘以4就得到整个椭圆的面积。从椭圆的标准方程可以解出第一象限的函数表达式：y等于b除以a乘以根号下a²减x²。
现在我们建立椭圆面积的定积分表达式。第一象限的面积等于从0到a对y关于x的积分。将椭圆函数代入，得到积分表达式为从0到a积分b除以a乘以根号下a²减x²。因此椭圆总面积等于4倍这个积分。积分的几何意义是用无穷多个细长矩形来填充椭圆区域，每个矩形的宽度为dx，高度为对应的y值。
为了求解包含根号的积分，我们使用三角替换法。令x等于a乘以sin θ，则dx等于a乘以cos θ dθ。当x从0变化到a时，对应的θ从0变化到π/2。通过这个替换，原来的根式积分转化为三角积分：4b倍的从0到π/2积分cos²θ dθ。右侧的单位圆图解释了这个替换的几何意义。
现在我们来计算这个三角积分。利用三角恒等式cos²θ等于1加cos2θ除以2，将积分转换为更简单的形式。经过计算，积分值为π/4，因此椭圆的面积为4b乘以π/4，最终得到椭圆面积公式S等于πab。这个公式有很好的对称性，当a等于b时，椭圆退化为圆，面积公式就变成了我们熟悉的πr²。