--- --- ### 斐波那契数列前n项求和讲解字幕 **(视频开头，动态展示数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...)** **字幕 (00:01-00:07):** 大家好，今天我们一起来探索如何计算斐波那契数列前n项的和。 --- **(屏幕显示：数列前几项 S₃ = 1+1+2 = 4, S₄ = 1+1+2+3 = 7, S₅ = 1+1+2+3+5 = 12)** **字幕 (00:08-00:15):** 一项一项加当然可以，但当n很大时，这会非常麻烦。 我们需要一个更巧妙的方法。 --- **(屏幕中央列出斐波那契数列的通用项表示: F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, ..., Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂)** **字幕 (00:16-00:22):** 我们先写出前n项和的公式： Sₙ = F₁ + F₂ + F₃ + ... + Fₙ --- **(屏幕上方出现一个等式：Sₙ = F₁ + F₂ + F₃ + ... + Fₙ)** **(下方开始对等式进行变形，每一项被替换成其定义：F₃ = F₄ - F₂, F₄ = F₅ - F₃, ..., Fₙ = Fₙ₊₁ - Fₙ₋₁)** **字幕 (00:23-00:32):** 关键的一步来了。我们发现一个规律： 从第三项开始，每一项都等于它后面两项之差。 **字幕 (00:33-00:40):** 例如：F₃ = F₄ - F₂ F₄ = F₅ - F₃ ... Fₙ = Fₙ₊₁ - Fₙ₋₁ --- **(屏幕上将刚才的所有等式相加。左边是 Sₙ - F₁ - F₂，右边出现大量正负项相互抵消的动画效果，最后只剩下 -F₂ + Fₙ₊₁)** **字幕 (00:41-00:55):** 现在，我们把所有这些等式加起来。 看右边！中间的项全部神奇地抵消了。 **字幕 (00:56-01:05):** 最后只剩下：-F₂ + Fₙ₊₁ 左边剩下的是：Sₙ - F₁ - F₂ --- **(屏幕整理出最终的等式：Sₙ - F₁ - F₂ = Fₙ₊₁ - F₂)** **(然后化简为：Sₙ = F₁ + F₂ + Fₙ₊₁ - F₂ = Fₙ₊₁ + F₁ - F₂)** **(因为 F₁ 和 F₂ 都等于1，所以最终变为：Sₙ = Fₙ₊₁ + 1 - 1 = Fₙ₊₂ - 1)** **字幕 (01:06-01:15):** 所以我们得到： Sₙ - F₁ - F₂ = Fₙ₊₁ - F₂ **字幕 (01:16-01:25):** 我们把F₁和F₂移过去： Sₙ = F₁ + Fₙ₊₁ **字幕 (01:26-01:35):** 因为F₁和F₂都等于1，我们可以再简化一下。 其实，前n项的和还有一个更简洁的公式。 --- **(屏幕最终显示出最简洁的结论，用大号字体突出显示)** **字幕 (01:36-01:45):** 斐波那契数列前n项的和，等于第n+2项减去1。 **公式 (01:46-01:55):** **Sₙ = Fₙ₊₂ - 1** --- **(屏幕举例验证：求前5项 (n=5) 的和：S₅ = F₇ - 1)** **(列出数列直至第7项: 1,1,2,3,5,8,13 → S₅ = 13 - 1 = 12，与之前手动计算的结果一致)** **字幕 (01:56-02:10):** 让我们验证一下。比如前5项的和是12。 第5+2=7项是13。 13减1正好等于12。完全正确！ --- **(视频结尾)** **字幕 (02:11-02:20):** 看，通过发现数列中隐藏的规律，我们得到了一个非常简洁优美的求和公式。 希望这个讲解对你有帮助，下次见！ ---