视频字幕
基本不等式是求最值问题的重要工具。它建立了算术平均数与几何平均数之间的关系。对于两个非负数a和b，它们的算术平均数不小于几何平均数。我们可以通过几何图形来理解这个关系：相同面积的矩形中，正方形的周长最小，这正体现了基本不等式的几何意义。
等号成立条件是基本不等式应用的关键。当且仅当a等于b时，算术平均数等于几何平均数。我们可以通过代数证明看出，两者的差值等于根号a减根号b的平方除以2，这个值恒非负。当a不等于b时，差值严格大于零；只有当a等于b时，差值才为零，此时等号成立。
基本不等式，也叫算术几何平均不等式，是数学中的一个重要不等式。它表述为：对于非负实数a和b，它们的算术平均数大于等于几何平均数。当且仅当a等于b时，等号成立。这个不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
基本不等式可以推广到n个正数的情况。对于n个正数，它们的算术平均数大于等于几何平均数。这个不等式有很多实用的变形，比如和的形式、积的形式，以及倒数形式等。通过数轴我们可以直观地看到，算术平均数总是不小于几何平均数。
基本不等式的正确应用需要满足三个条件，简称"一正二定三相等"。一正是指所有变量必须为正数，这是基本不等式成立的前提。二定是指变量的和或积必须为定值，这样才能通过不等式求出另一个量的最值。三相等是指等号成立的条件必须有解，即存在使得各变量相等的情况。违反任何一个条件都可能导致错误的结论。
现在我们通过一个典型例题来看基本不等式在求最值问题中的应用。已知x大于0，y大于0，且x加y等于8，求xy的最大值。首先检验三个条件：变量为正数，和为定值，等号条件有解。然后应用基本不等式，得到xy小于等于16，当x等于y等于4时取到最大值。从函数图像也可以直观地看到这个结论。
基本不等式在实际问题中有广泛应用。比如这个篱笆围菜园的问题：用20米篱笆围成矩形菜园，求最大面积。我们设长为x，宽为y，约束条件是周长等于20，即x加y等于10。目标是求面积xy的最大值。应用基本不等式，得到xy小于等于25，当长宽相等即都为5米时，面积达到最大值25平方米。这体现了基本不等式在优化问题中的重要作用。
利用基本不等式求最值有两种基本类型。第一类是已知和求积的最值，当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，在两数相等时取得。第二类是已知积求和的最值，当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，同样在两数相等时取得。通过函数图像可以直观地看到最值点的位置，这验证了我们用基本不等式得到的结论。
当题目条件不能直接应用基本不等式时，需要运用配凑和拆项技巧。系数配凑是通过调整系数使得能够应用基本不等式，比如将2x加3y等于6变形为x除以3加y除以2等于1。拆项变形是将复杂表达式分解重组，如将x加1除以x减1变形为x减1加1除以x减1再加1。巧妙变形则是利用已知条件进行等价替换，这些技巧的关键是保持等号成立条件的一致性。