基本不等式 **🔍 重要性：** 求最值问题的重要工具 **核心要点：** - 算术-几何平均不等式 - 基本不等式的应用条件 - 利用基本不等式求最值 - 实际问题的应用 **基本不等式：** 1. **算术-几何平均不等式：** ``` (a + b)/2 ≥ √(ab) (a, b ≥ 0) 等号成立条件：a = b ``` 2. **推广形式：** ``` (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ ⁿ√(a₁a₂...aₙ) ``` **应用技巧：** - "一正二定三相等" - 拆项和配凑 - 多次使用基本不等式 ---

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

基本不等式是求最值问题的重要工具。对于两个正数a和b，它们的算术平均数总是大于等于几何平均数。这就是著名的算术-几何平均不等式。从几何角度看，面积相等的矩形中，正方形的周长最小，这直观地展示了基本不等式的几何意义。等号成立的充要条件是两个数相等。 基本不等式有多种证明方法，每种都能加深我们对不等式本质的理解。代数证明法最直接，从完全平方式的非负性出发。将根号a减根号b的平方大于等于零展开，经过移项整理就得到基本不等式。几何证明法利用圆的性质，在半圆中，直径总是大于等于任何弦长，这为不等式提供了直观的几何解释。函数证明法则通过构造函数分析其单调性来证明。