不等关系与不等式 **🔍 重要性：** 不等式学习的基础 **核心要点：** - 不等式的概念 - 不等式的性质 - 不等式的基本运算 - 比较大小的方法 **不等式的基本性质：** 1. **对称性：** a > b ⟺ b < a 2. **传递性：** a > b, b > c ⟹ a > c 3. **加法性质：** a > b ⟹ a + c > b + c 4. **乘法性质：** - a > b, c > 0 ⟹ ac > bc - a > b, c < 0 ⟹ ac < bc

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不等关系是数学中的基础概念。在日常生活中，我们经常需要比较事物的大小。在数学中，我们用不等号来表示这种关系。大于号表示左边的数比右边的数大，小于号表示左边的数比右边的数小。在数轴上，右边的数总是大于左边的数。 不等式有三个基本性质。对称性告诉我们，如果a大于b，那么b就小于a，这两个表述是等价的。传递性说明，如果a大于b，b大于c，那么a一定大于c。单调性表示，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。这些性质在数轴上都有直观的体现。 不等式的加法性质是非常重要的运算规律。它表明，当我们在不等式的两边同时加上同一个数时，不等号的方向保持不变。比如5大于3，当我们两边都加2时，得到7大于5，不等关系依然成立。这个性质对于正数、负数和零都适用，是解不等式的基础工具。 不等式的乘法性质需要分情况讨论。当乘数c大于零时，不等号方向保持不变，比如5大于3，两边都乘以2，得到10大于6。但是当乘数c小于零时，不等号方向必须改变，比如5大于3，两边都乘以负2，得到负10小于负6。这是因为乘以负数相当于在数轴上进行翻转操作。 比较大小的方法中，作差法是最基础也是最可靠的方法。通过计算两个数的差值，我们可以判断它们的大小关系。作商法适用于都是正数的情况。让我们通过一个例题来演示作差法的应用：比较x²加1与2x的大小。我们计算它们的差，得到x²减2x加1，这正好是x减1的完全平方，由于完全平方数非负，所以x²加1大于等于2x。