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等比数列是数学中的重要概念。它的定义是从第二项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数。我们用通项公式 a_n = a_1 × q^(n-1) 来表示，其中 a_1 是首项，q 是公比。比如数列 2, 4, 8, 16, 32，首项是2，公比是2，每一项都是前一项的2倍。
现在我们来推导等比数列前n项和公式。设前n项和为 S_n 等于 a_1 加 a_1q 加 a_1q的平方，一直加到 a_1q的n-1次方。接下来使用错位相减法，将等式两边同时乘以q，得到 qS_n 等于 a_1q 加 a_1q的平方，一直加到 a_1q的n次方。然后用第一个等式减去第二个等式，大部分项会相消，只剩下 S_n 减 qS_n 等于 a_1 减 a_1q的n次方。化简后得到最终公式：当q不等于1时，S_n 等于 a_1乘以1减q的n次方，再除以1减q。当q等于1时，S_n 等于 n乘以a_1。
现在我们通过具体例题来应用前n项和公式。例题1：求等比数列3, 6, 12, 24的前5项和。首先确定参数：首项a1等于3，公比q等于2，项数n等于5。由于q不等于1，使用公式S5等于3乘以1减2的5次方，除以1减2。计算得到S5等于3乘以负31除以负1，等于93。例题2：已知等比数列首项为1，公比为二分之一，求前6项和。确定参数：a1等于1，q等于二分之一，n等于6。代入公式计算得到S6等于63/32。解题关键是先确定首项、公比和项数，判断公比不等于1，然后代入公式计算。
当等比数列的公比绝对值小于1时，无穷等比数列的和是存在且有限的。我们从有限项和公式出发：S_n等于a_1乘以1减q的n次方，除以1减q。当n趋向无穷大且公比绝对值小于1时，q的n次方趋向于0，因此无穷项和公式为S无穷等于a_1除以1减q。经典例子是二分之一加四分之一加八分之一加十六分之一等等，这个级数的首项是二分之一，公比是二分之一，代入公式得到和等于1。我们可以用正方形面积分割来直观理解：将单位正方形依次分割成二分之一、四分之一、八分之一等部分，所有部分的面积之和正好等于1。
错位相减法不仅适用于等比数列求和，还可以扩展到更复杂的数列。当数列形如aₙbₙ，其中aₙ是等差数列，bₙ是等比数列时，就可以使用错位相减法。方法步骤是：首先写出Sₙ的表达式，然后构造qSₙ，即将原式乘以公比，接着进行错位相减，最后化简求解。例如求1乘2的1次方加2乘2的2次方加3乘2的3次方一直加到n乘2的n次方的和。设Sₙ等于这个表达式，然后构造2Sₙ，将每一项都向后错位一项。用Sₙ减去2Sₙ，中间的项会相消，只剩下首项和末项，最终得到Sₙ等于n减1乘以2的n加1次方加2。这种方法在处理数列求和问题时非常有效。