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等比数列是数学中的重要概念。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。我们用数学符号表示为a_{n+1}/a_n = q，其中q不等于0，称为公比。例如数列2, 4, 8, 16, 32...，每相邻两项的比都等于2，所以这是一个公比为2的等比数列。
现在我们来推导等比数列的通项公式。设首项为a_1，公比为q，那么第二项a_2等于a_1乘以q，第三项a_3等于a_2乘以q，也就是a_1乘以q的平方，第四项a_4等于a_1乘以q的三次方。通过观察规律，我们可以归纳出通项公式：a_n等于a_1乘以q的n-1次方。让我们用一个例子来验证：当a_1等于3，q等于2时，第5项a_5等于3乘以2的4次方，等于48。
等比中项是等比数列中的重要概念。如果在a与b中间插入一个数G，使得a、G、b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项。根据等比数列的定义，G与a的比等于b与G的比，即G/a等于b/G，由此可以推导出G的平方等于ab。需要注意的是，等比中项存在的条件是a与b必须同号。例如，求4和9的等比中项，根据公式G的平方等于4乘以9等于36，所以G等于正负6。
等比数列有一个重要的下标性质：若m加n等于p加q，则aₘ乘以aₙ等于aₚ乘以aₑ。我们可以通过通项公式来证明这个性质。aₘ乘以aₙ等于a₁的q的m-1次方乘以a₁的q的n-1次方，等于a₁的平方乘以q的m+n-2次方。同样，aₚ乘以aₑ等于a₁的平方乘以q的p+q-2次方。由于m+n等于p+q，所以两式相等。例如，当2+5等于3+4等于7时，a₂乘以a₅等于a₃乘以a₄。我们可以用具体数值验证：当a₁等于2，q等于3时，a₂乘以a₅等于6乘以162等于972，a₃乘以a₄等于18乘以54也等于972。
公比q的符号对等比数列各项的符号有重要影响。当q大于0时，各项符号与首项符号相同。例如，当a₁等于2，q等于3时，数列为2、6、18、54、162等，全部为正数。当q小于0时，各项符号交替变化。例如，当a₁等于2，q等于负3时，数列为2、负6、18、负54、162等，符号交替出现。这种性质在实际问题中很有意义，比如在描述振荡现象或周期性变化时。