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等差数列是数学中的重要概念，指相邻两项之差为常数的数列。例如数列2、5、8、11、14，公差d等于3。通项公式为aₙ等于a₁加上n减1乘以d。这个公式帮助我们快速计算数列中任意一项的值，为后续学习前n项和公式奠定基础。
现在我们用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。首先写出Sₙ等于a₁加a₂加到aₙ，然后倒序写出Sₙ等于aₙ加aₙ₋₁加到a₁。两式相加得到2Sₙ等于n倍的a₁加aₙ，因此Sₙ等于n倍a₁加aₙ的一半。将通项公式代入，得到另一个重要公式：Sₙ等于na₁加n乘n减1乘d的一半。
将前n项和公式重新整理，可以得到二次函数形式：Sₙ等于d除以2乘以n的平方，加上a₁减去d除以2乘以n。当d不等于0时，Sₙ关于n的函数图像是抛物线。当d大于0时开口向上，当d小于0时开口向下。这种二次函数性质为我们分析等差数列前n项和的最值问题提供了重要依据。
等差数列前n项和的最值问题可以分为三种情况。当a₁大于0且d小于0时，Sₙ有最大值；当a₁小于0且d大于0时，Sₙ有最小值；当a₁与d同号时，Sₙ的绝对值单调递增。关键是最值出现在aₙ等于0附近，具体来说，当aₙ小于等于0且aₙ₊₁大于等于0时出现最值。例如a₁等于20，d等于负3的数列，a₇等于2，a₈等于负1，所以S₇或S₈为最大值。
现在通过两个典型例题来巩固前n项和公式的应用。例题1：已知a₁等于20，d等于负3，求Sₙ的最大值。解法是先求出通项公式aₙ等于23减3n，令aₙ等于0得到n约等于7.67。由于a₇等于2大于0，a₈等于负1小于0，所以S₇为最大值77。例题2：已知S₁₀等于100，S₂₀等于300，求a₁和d。建立方程组，解得d等于1，a₁等于5.5。这些例题展示了不同题型的解题策略。