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阿基米德原理是流体力学中的基本定律。它表述为：浸在流体中的物体受到向上的浮力，浮力大小等于物体排开流体的重量。这一原理由古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪发现，据说他是在洗澡时观察到水位上升现象而得出这一重要结论的。
流体静压力是理解浮力产生机制的关键。在静止流体中，任意一点的压强由公式P等于ρgh确定，其中ρ是流体密度，g是重力加速度，h是该点距离液面的深度。压强随深度线性增加，且在同一深度各个方向的压强相等。流体对物体表面的压力总是垂直作用于接触面。
现在我们分析浸入流体中的长方体物体受到的各个力。物体的上表面处于深度h1，受到向下的压力F1等于P1乘以面积S，即ρgh1乘以S。下表面处于深度h2，受到向上的压力F2等于P2乘以面积S，即ρgh2乘以S。由于h2大于h1，所以F2大于F1。物体侧面受到的水平压力大小相等方向相反，相互抵消。
现在我们来推导浮力的数学表达式。浮力等于向上的压力F2减去向下的压力F1，即ρgh2S减去ρgh1S，提取公因子得到ρgS乘以h2减h1，也就是ρgS乘以Δh。由于S乘以Δh正好等于物体排开流体的体积V排，所以浮力等于ρg乘以V排。这个ρgV排就是排开流体的重量，从而得到了阿基米德原理的完整数学表达式。
对于任意不规则形状的物体，我们可以运用积分的思想来验证阿基米德原理的普适性。将不规则物体分割成无数个微小的长方体元素，每个微元都遵循我们之前推导的压力差规律，受到微小浮力dF。通过对所有微元浮力进行积分求和，得到总浮力仍然等于ρg乘以V排。这证明了阿基米德原理对任意形状的物体都成立。