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椭圆是平面几何中的重要曲线。它的定义是：平面上到两个定点距离之和为常数的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，通常用F1和F2表示。当点P在椭圆上移动时，PF1加PF2的距离始终保持不变，这个常数等于椭圆长轴的长度。
椭圆的标准方程有两种形式，取决于焦点的位置。当焦点在x轴上时，方程为x²/a² + y²/b² = 1；当焦点在y轴上时，方程为x²/b² + y²/a² = 1。其中a是长半轴长，b是短半轴长，c是焦距的一半。它们满足关系式c² = a² - b²。椭圆有四个顶点，长轴上的两个顶点和短轴上的两个顶点。
椭圆具有丰富的几何性质。首先是对称性，椭圆关于x轴、y轴和原点都对称。椭圆有四个顶点，长轴的两个端点和短轴的两个端点。离心率e等于c除以a，它描述了椭圆的扁平程度。当离心率接近0时，椭圆接近圆形；当离心率接近1时，椭圆变得越来越扁。让我们观察离心率变化对椭圆形状的影响。
现在我们通过一个具体例题来应用椭圆的知识。题目给出椭圆的两个焦点坐标和椭圆上一点到两焦点距离之和，要求椭圆的标准方程。首先确定焦点在x轴上，由焦点坐标得到c等于3。由距离之和等于10得到2a等于10，所以a等于5。利用关系式c²等于a²减b²，可以求出b等于4。因此椭圆的标准方程为x²/25 + y²/16 = 1。
椭圆还有参数方程形式：x等于a乘以cos t，y等于b乘以sin t。椭圆与直线有三种位置关系：相离时无交点，相切时有一个交点，相交时有两个交点。椭圆在实际生活中有广泛应用，比如行星绕太阳运行的轨道就是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。椭圆还应用于建筑设计和光学器件中，利用其独特的几何性质。