视频字幕
集合是数学中最基本的概念之一。它是由确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。比如一个班级的所有学生可以组成一个集合，各种水果也可以组成一个集合。集合有三个重要特征：确定性是指元素是否属于集合必须明确；互异性是指集合中的元素各不相同；无序性是指元素在集合中没有顺序关系。
集合有三种主要的表示方法。第一种是列举法，把集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，比如A等于1、2、3、4、5。第二种是描述法，用元素的共同特征来描述集合，比如B等于所有大于0的自然数。第三种是图示法，也叫韦恩图，用封闭的图形来表示集合，能够直观地显示集合之间的关系。每种方法都有其适用的场景，我们要根据具体情况选择合适的表示方法。
在数学中，我们经常使用一些特殊的符号来表示常用的数集。自然数集用ℕ表示，包括0、1、2、3等所有非负整数。正整数集用ℕ*表示，不包括0。整数集用ℤ表示，包括所有正整数、负整数和0。有理数集用ℚ表示，是所有可以表示为两个整数之比的数。实数集用ℝ表示，包含所有有理数和无理数。这些数集之间存在包含关系：自然数集包含于整数集，整数集包含于有理数集，有理数集包含于实数集。通过数轴可以直观地看出这些数集的分布和关系。
元素与集合之间存在两种基本关系：属于和不属于。如果a是集合A的元素，我们用符号∈表示，记作a属于A。如果a不是集合A的元素，我们用符号∉表示，记作a不属于A。判断元素是否属于集合的方法有：对于用列举法表示的集合，直接查看元素是否被列出；对于用描述法表示的集合，需要验证元素是否满足集合的描述条件。比如对于集合A等于1、3、5、7、9，我们可以说3属于A，而2不属于A。正确使用这些符号是学习集合的基础。
集合之间存在相等关系和包含关系。如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等，记作A等于B。需要注意的是，集合中元素的顺序不影响集合的相等性。如果集合A的每个元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A包含于B。如果A是B的子集，但A不等于B，则A是B的真子集，记作A真包含于B。通过韦恩图可以直观地看出这些关系：子集关系表现为一个圆完全包含在另一个圆内。掌握这些关系对于理解集合运算非常重要。