空间向量与立体几何 **空间向量基础：** 1. **向量运算：** ``` 数量积： a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ 坐标表示： 设a⃗ = (x₁, y₁, z₁), b⃗ = (x₂, y₂, z₂) a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ 向量模： |a⃗| = √(x₁² + y₁² + z₁²) 夹角公式： cos θ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|) ``` 2. **空间坐标系：** ``` 建立原则： - 选择合适的原点 - 利用几何体的对称性 - 使计算简化 常用建系方法： - 以长方体的顶点为原点 - 以正四面体的中心为原点 - 以圆锥的顶点为原点 ``` 3. **向量法解立体几何：** ``` 证明平行： - 线线平行：向量共线 a⃗ = λb⃗ - 线面平行：直线向量与平面法向量垂直 - 面面平行：两平面法向量共线 证明垂直： - 线线垂直：向量数量积为0 - 线面垂直：直线向量与平面法向量共线 - 面面垂直：两平面法向量垂直 求角度： - 利用向量夹角公式 - 注意角度范围的转换 求距离： - 点到平面距离：|a⃗ · n⃗|/|n⃗| - 直线到平面距离：转化为点到平面距离 ``` **实际应用案例：** 1. **建筑设计：** ``` 案例：屋顶设计 问题： 确定屋顶的倾斜角度，使雨水能够 顺利流下，同时保证结构稳定 方法： 1. 建立空间坐标系 2. 计算屋面与水平面的夹角 3. 优化角度设计 ``` 2. **航空航天：** ``` 案例：卫星轨道分析 问题： 计算卫星轨道平面与地球赤道面的夹角 方法： 1. 建立地心坐标系 2. 确定轨道平面法向量 3. 计算与赤道面法向量的夹角 ``` 3. **机械工程：** ``` 案例：零件配合设计 问题： 确定两个斜面零件的接合角度 方法： 1. 建立零件坐标系 2. 计算各面的法向量 3. 确定最佳配合角度 ``` **练习题集：** 1. **基础题：** ``` 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求异面直线AC与B₁D₁所成角。 解析： 1. 建立坐标系，设正方体棱长为1 2. A(0,0,0), C(1,1,0), B₁(1,0,1), D₁(0,1,1) 3. AC⃗ = (1,1,0), B₁D₁⃗ = (-1,1,0) 4. cos θ = (AC⃗ · B₁D₁⃗)/(|AC⃗||B₁D₁⃗|) = 0/2 = 0 5. 所以θ = 90°，两直线垂直 ``` 2. **中档题：** ``` 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD， 求证：AD⊥BC。 证明： 设AB⃗ = a⃗, AC⃗ = b⃗, AD⃗ = c⃗ 则BC⃗ = c⃗ - b⃗, CD⃗ = d⃗ - c⃗, BD⃗ = d⃗ - b⃗ 由条件AB⊥CD，得a⃗ · (d⃗ - c⃗) = 0 由条件AC⊥BD，得b⃗ · (d⃗ - b⃗) = 0 可推出AD⃗ · BC⃗ = 0，即AD⊥BC ``` 3. **难度题：** ``` 求点P(1,2,3)到平面2x - y + 2z - 3 = 0的距离。 解析： 1. 平面方程：2x - y + 2z - 3 = 0 2. 平面法向量：n⃗ = (2,-1,2) 3. 距离公式：d = |2×1 - 1×2 + 2×3 - 3|/√(2² + (-1)² + 2²) 4. d = |2 - 2 + 6 - 3|/√9 = 3/3 = 1 ```