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和差化积是三角函数中的重要恒等变换技巧。它的核心思想是将三角函数的和或差的形式，转换为三角函数乘积的形式。比如正弦函数的和可以化为两个三角函数的乘积，余弦函数的差也可以化为乘积形式。这种变换在求解三角方程、计算积分以及简化三角表达式时都非常有用。
和差化积公式的推导基于两角和差公式。我们从正弦和余弦的两角和差公式开始。将正弦的两角和公式与两角差公式相加，可以得到二倍正弦A余弦B的形式。同样地，将余弦的两角和公式与两角差公式相加，得到二倍余弦A余弦B。通过适当的变量替换，我们就能得到完整的和差化积公式。
和差化积包含四个基本公式。第一个是正弦和的公式，将正弦A加正弦B化为二倍正弦平均角乘余弦半差角。第二个是正弦差的公式，化为二倍余弦平均角乘正弦半差角。第三个是余弦和的公式，化为二倍余弦平均角乘余弦半差角。第四个是余弦差的公式，注意前面有负号，化为负二倍正弦平均角乘正弦半差角。这四个公式的结构都很相似，关键是要记住符号和三角函数的对应关系。
和差化积公式的几何意义可以通过单位圆来理解。在单位圆上，角度A和角度B对应两个不同的点。和差化积公式实际上是将这两个角度的三角函数值，转换为它们的平均角和半差角的三角函数值。平均角表示两个角度的中点位置，而半差角则反映了两个角度之间的差异。通过这种几何解释，我们可以更直观地理解为什么和差化积公式能够简化三角函数的计算。
让我们通过三个典型例题来演示和差化积公式的应用。第一题计算正弦75度加正弦15度。使用正弦和的公式，得到二倍正弦45度乘余弦30度，最终结果是根号6除以2。第二题计算余弦80度减余弦20度。使用余弦差的公式，注意前面的负号，得到负二倍正弦50度乘正弦30度，最终结果是负正弦50度。第三题化简正弦3x加正弦x，直接应用公式得到二倍正弦2x乘余弦x。这些例题展示了和差化积公式在不同情况下的应用技巧。