解析几何综合应用 **解题方法：** 1. **待定系数法：** ``` 步骤： 1. 设出曲线的一般方程 2. 利用已知条件列方程组 3. 求出待定系数 4. 写出曲线方程 ``` 2. **参数方程法：** ``` 适用情况： - 涉及角度参数 - 涉及运动轨迹 - 某些特殊图形 椭圆参数方程： x = a cos θ y = b sin θ ``` 3. **数形结合法：** ``` 原则： - 以数辅形：用计算验证图形性质 - 以形助数：用图形启发解题思路 ``` **实际应用案例：** 1. **天体运动：** ``` 案例：行星轨道 开普勒第一定律： 行星绕太阳运行的轨道是椭圆 太阳位于椭圆的一个焦点上 应用： - 卫星轨道设计 - 空间探测器轨迹 - 彗星轨道预测 ``` 2. **工程设计：** ``` 案例：桥梁设计 拱桥形状： - 抛物线型：受力均匀 - 圆弧型：结构简单 - 椭圆型：美观实用 应用： - 承重分析 - 材料计算 - 美学设计 ``` 3. **光学设计：** ``` 案例：望远镜设计 反射镜： - 主镜：抛物面 - 副镜：双曲面 原理： 利用圆锥曲线的光学性质 聚焦平行光线 ``` **练习题集：** 1. **基础题：** ``` 求过点A(1,2)且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程。 解析： 1. 已知直线斜率k₁ = -2 2. 所求直线斜率k = 1/2（垂直线斜率互为负倒数） 3. 用点斜式：y - 2 = (1/2)(x - 1) 4. 化简得：x - 2y + 3 = 0 ``` 2. **中档题：** ``` 已知椭圆的长轴长为10，离心率为3/5， 求椭圆的标准方程。 解析： 1. 长轴长2a = 10，所以a = 5 2. 离心率e = c/a = 3/5，所以c = 3 3. 由c² = a² - b²得：b² = 25 - 9 = 16 4. 椭圆方程：x²/25 + y²/16 = 1 ``` 3. **难度题：** ``` 已知抛物线y² = 4x上一点P到焦点的距离为5， 求点P的坐标。 解析： 1. 抛物线y² = 4x，所以2p = 4，p = 2 2. 焦点F(1,0)，准线x = -1 3. 设P(t,y)，由抛物线定义：|PF| = t + 1 = 5 4. 所以t = 4，代入抛物线方程：y² = 16 5. 因此P(4,4)或P(4,-4) ```