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三角形计数是一个有趣的几何问题。当我们看到一个大三角形被分割成许多小三角形时，要快速计算出总共有多少个三角形并不容易。这些三角形包括最小的单个三角形，以及由多个小三角形组成的各种大小的复合三角形。我们需要建立系统的方法来识别和计数所有可能的三角形。
要快速计数三角形，我们需要建立系统的分类方法。首先按边长分类：边长为1的最小三角形有9个，包括5个向上和4个向下的。边长为2的中等三角形有3个，都是向上的。边长为3的大三角形有1个，向上的。最后是边长为4的整个三角形，也是1个向上的。通过这种分类方法，我们可以避免遗漏或重复计数。
现在我们专门分析向上三角形的计数规律。对于4层的三角形网格，边长为1的向上三角形在每一层分别有1个、2个、3个、4个，总共10个。边长为2的向上三角形有6个，边长为3的有3个，边长为4的有1个。我们可以推导出通用公式：对于n层网格，边长为k的向上三角形数量等于n减k加1乘以n减k加2再除以2。
向下三角形的计数规律与向上三角形相似但有所不同。对于4层网格，边长为1的向下三角形从第2层开始，分别有1个、2个、3个，总共6个。边长为2的向下三角形有3个，边长为3的有1个。向下三角形的特点是比向上三角形少一层，因为最顶层无法形成向下的三角形。我们可以推导出公式：边长为k的向下三角形数量等于n减k乘以n减k加1再除以2。
现在我们推导通用公式。向上三角形总数等于n乘以n加1乘以n加2再除以6。向下三角形总数等于n减1乘以n乘以n加1再除以6。将两者相加得到总三角形数等于n乘以n加1乘以2n加1再除以6。经过进一步化简，我们得到最终的通用公式：T(n)等于n乘以n加2乘以2n加1再除以8。对于4层三角形，代入公式得到27个三角形。