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角平分线是几何学中的重要概念。它是将一个角分成两个相等角的射线。角平分线最重要的性质是：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。如图所示，点P在角BAC的平分线上，PE垂直于AB，PF垂直于AC，那么PE等于PF。这个性质是解决许多几何问题的关键。
现在我们来看第一种题型：利用角平分线性质求线段长度。题目给出AD是三角形ABC中角BAC的平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，已知AB等于10，AC等于6，三角形ABC的面积为24，求DE的长。根据角平分线性质，我们知道DE等于DF。然后利用面积分割的方法，三角形ABC的面积等于三角形ABD的面积加上三角形ACD的面积。代入面积公式，得到二分之一乘以10乘以DE加上二分之一乘以6乘以DE等于24，解得DE等于3。
今天我们学习角平分线的各种题型。第一种是利用角平分线的性质求线段长度。角平分线的性质是：角平分线上的点到角两边的距离相等。在例题中，已知AD是三角形ABC中角BAC的平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，根据角平分线性质可得DE等于DF。由于三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形ACD面积之和，利用面积公式建立方程求解，最终得到DE等于3。
第二种题型是角平分线的判定。判定定理是：到角两边距离相等的点在角的平分线上。例题中，点P在三角形ABC内部，PD垂直于AB，PE垂直于BC，且PD等于PE。根据角平分线的判定定理，因为点P到角ABC两边的距离相等，所以点P在角ABC的平分线上，即BP平分角ABC。
第三种题型是角平分线与平行线的组合问题。这类题型有一个重要结论：角平分线加平行线可以得到等腰三角形。例题中，在三角形ABC中，AD平分角BAC，DE平行于AC交AB于点E，已知角BAC等于80度，求角EDA的度数。因为AD平分角BAC，所以角CAD等于二分之一倍角BAC，即40度。又因为DE平行于AC，根据平行线的性质，内错角相等，所以角EDA等于角CAD，等于40度。同时，我们还能得出三角形AED是等腰三角形。
第四种题型是三角形内角平分线定理。定理内容是：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。在三角形ABC中，如果AD平分角BAC，那么BD比DC等于AB比AC。例题中，已知AB等于6，AC等于4，BC等于5，设BD等于x，则DC等于5减x，根据内角平分线定理列出比例式求解，最终得到BD等于3。
第五种题型是与角平分线相关的辅助线构造。常见的辅助线包括：过角平分线上一点作角两边的垂线，或者在角两边截取相等线段构造全等三角形。例题中，要证明AB等于AC加CD，我们在AB上截取AE等于AC，连接DE。利用角平分线的性质和全等三角形的判定，可以证明三角形AED全等于三角形ACD，从而得到DE等于DC。通过角度关系进一步推出BE等于DE等于DC，最终证明AB等于AC加CD。
第四种题型是角平分线的判定。判定定理是：到角两边距离相等的点在角的平分线上。这是角平分线性质的逆定理。例题中，点P在三角形ABC内部，PD垂直于AB于点D，PE垂直于BC于点E，且PD等于PE。要证明BP平分角ABC。根据角平分线的判定定理，因为点P到角ABC两边AB和BC的距离相等，即PD等于PE，所以点P在角ABC的平分线上，因此BP平分角ABC。这种判定方法在几何证明中经常使用。
第五种题型是三角形内角平分线定理。这个定理说明：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。在三角形ABC中，如果AD平分角BAC，那么BD比DC等于AB比AC。例题中，已知AB等于6，AC等于4，BC等于5，要求BD的长。设BD等于x，则DC等于5减x，根据内角平分线定理建立比例方程：x除以5减x等于6除以4，交叉相乘得到4x等于6乘以5减x，化简后得到10x等于30，所以x等于3，即BD等于3。