圆锥曲线 **椭圆：** 1. **定义与方程：** ``` 定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹 标准方程： 焦点在x轴：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 焦点在y轴：y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0) 重要关系：c² = a² - b² ``` 2. **椭圆的性质：** ``` 几何性质： - 长轴长：2a - 短轴长：2b - 焦距：2c - 离心率：e = c/a (0 < e < 1) 特殊点： - 焦点：F₁(-c,0), F₂(c,0) - 顶点：A₁(-a,0), A₂(a,0), B₁(0,-b), B₂(0,b) ``` 3. **椭圆的光学性质：** ``` 反射定律： 从一个焦点发出的光线经椭圆反射后 必经过另一个焦点 应用： - 椭圆镜面 - 耳语廊 - 医疗碎石 ``` **双曲线：** 1. **定义与方程：** ``` 定义：到两定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹 标准方程： 焦点在x轴：x²/a² - y²/b² = 1 焦点在y轴：y²/a² - x²/b² = 1 重要关系：c² = a² + b² ``` 2. **双曲线的性质：** ``` 几何性质： - 实轴长：2a - 虚轴长：2b - 焦距：2c - 离心率：e = c/a (e > 1) 渐近线：y = ±(b/a)x ``` 3. **双曲线的应用：** ``` 实际应用： - 双曲导航系统 - 射电望远镜 - 冷却塔设计 ``` **抛物线：** 1. **定义与方程：** ``` 定义：到定点和定直线距离相等的点的轨迹 标准方程： y² = 2px (p > 0)：开口向右 y² = -2px (p > 0)：开口向左 x² = 2py (p > 0)：开口向上 x² = -2py (p > 0)：开口向下 ``` 2. **抛物线的性质：** ``` 几何性质： - 焦点：F(p/2, 0) - 准线：x = -p/2 - 离心率：e = 1 - 对称轴：x轴 ``` 3. **抛物线的光学性质：** ``` 反射定律： 平行于对称轴的光线经抛物线反射后 都汇聚到焦点 应用： - 抛物面天线 - 汽车前灯 - 太阳能收集器 ```