直线与圆 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[解析几何] --> B[直线] A --> C[圆] A --> D[圆锥曲线] B --> B1[直线方程] B --> B2[位置关系] B --> B3[距离公式] C --> C1[圆的方程] C --> C2[直线与圆] C --> C3[圆与圆] D --> D1[椭圆] D --> D2[双曲线] D --> D3[抛物线] ``` **直线方程：** 1. **五种表示形式：** ``` 1. 点斜式：y - y₀ = k(x - x₀) 适用：已知一点和斜率 2. 斜截式：y = kx + b 适用：已知斜率和y截距 3. 两点式：(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁) 适用：已知两点 4. 截距式：x/a + y/b = 1 适用：已知两截距 5. 一般式：Ax + By + C = 0 适用：任何直线 ``` 2. **直线的倾斜角与斜率：** ``` 倾斜角α：直线与x轴正方向的夹角（0° ≤ α < 180°） 斜率k = tan α（α ≠ 90°） 特殊情况： - α = 0°：k = 0（水平线） - α = 90°：斜率不存在（垂直线） - α = 45°：k = 1 ``` 3. **位置关系：** ``` 两直线l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 平行：A₁B₂ - A₂B₁ = 0 且 A₁C₂ - A₂C₁ ≠ 0 重合：A₁B₂ - A₂B₁ = 0 且 A₁C₂ - A₂C₁ = 0 相交：A₁B₂ - A₂B₁ ≠ 0 垂直：A₁A₂ + B₁B₂ = 0 ``` **圆的方程：** 1. **标准方程：** ``` (x - a)² + (y - b)² = r² 其中： - 圆心：(a,b) - 半径：r - 适用：已知圆心和半径 ``` 2. **一般方程：** ``` x² + y² + Dx + Ey + F = 0 配方得： (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E² - 4F)/4 成圆条件：D² + E² - 4F > 0 ``` 3. **直线与圆的位置关系：** ``` 设圆心到直线的距离为d，半径为r： 相离：d > r（无交点） 相切：d = r（一个交点） 相交：d < r（两个交点） 判别式方法： 将直线方程代入圆的方程，看判别式Δ Δ > 0：相交 Δ = 0：相切 Δ < 0：相离 ``` 在此基础上可以丰富内容