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波动方程是物理学中描述波传播的基本方程。一般形式为二阶偏微分方程，其中u表示波函数，c表示波速。在一维情况下，波动方程描述了波沿x方向的传播。我们可以看到正弦波在介质中的传播过程，这为理解电磁波的传播奠定了数学基础。
十九世纪是电磁学发展的黄金时代。法拉第发现了电磁感应现象，建立了变化磁场产生电场的定律。安培研究了电流与磁场的关系。麦克斯韦在此基础上提出了革命性的观点：不仅变化的磁场能产生电场，变化的电场也能产生磁场。这种相互激发的过程可以在空间中传播，形成电磁波。
现在我们从法拉第电磁感应定律开始推导电场的波动方程。首先写出法拉第定律的微分形式。然后对等式两边取旋度运算。利用矢量分析中的恒等式，左边可以写成梯度的散度减去拉普拉斯算子。在无源空间中，结合安培定律，最终得到电场满足的波动方程。这表明电场扰动以波的形式在空间中传播。
现在我们用类似的方法推导磁场的波动方程。从安培定律开始，在无源无电流的空间中，对等式两边取旋度。利用矢量恒等式展开左边，结合法拉第定律和磁场的散度为零的条件，最终得到磁场也满足相同形式的波动方程。这表明电场和磁场具有完全的对称性，都以相同的速度传播，这个速度就是光速。
现在我们展示完整的麦克斯韦方程组。第一个是高斯定律，描述电场散度与电荷密度的关系。第二个是磁场的高斯定律，表明磁场散度为零，即不存在磁单极子。第三个是法拉第电磁感应定律，描述变化磁场产生电场。第四个是安培-麦克斯韦定律，包含了麦克斯韦的重要贡献：位移电流项。这四个方程完整地描述了电磁场的所有行为，统一了电学和磁学。