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波动方程是物理学中描述波动现象的基本微分方程。它的一般形式为二阶偏微分方程，其中u表示波函数，c表示波速，拉普拉斯算子描述空间变化。对于电磁波，波速c等于1除以真空磁导率和介电常数乘积的平方根。右侧展示的正弦波动画演示了波的传播过程，波形以恒定速度向前传播，这正是波动方程所描述的基本特征。
从一般波动方程出发，我们可以推导出电场和磁场各自满足的波动方程。电场E和磁场B都满足相同形式的波动方程，波速c等于光速。在电磁波中，电场和磁场相互垂直，且都垂直于波的传播方向，形成横波。右侧动画展示了电磁波的传播，蓝色曲线代表电场，红色曲线代表磁场，它们以相同的频率和波长传播，但相位相差九十度。这种相互垂直的关系是电磁波的基本特征。
现在我们通过旋度运算从波动方程推导麦克斯韦方程组。首先对电场波动方程取旋度，利用矢量恒等式，旋度的旋度等于散度的梯度减去拉普拉斯算子。在无源条件下，电场的散度为零，因此旋度的旋度等于负的拉普拉斯算子。结合波动方程，我们得到旋度的旋度等于负的二阶时间偏导数除以光速平方。通过数学变换，最终推导出法拉第电磁感应定律：电场的旋度等于负的磁场对时间的偏导数。右侧图示展示了矢量场的旋度概念，红色圆圈表示旋度运算的几何意义。
现在我们从电磁波的横波性质推导散度关系。电磁波是横波，意味着电场和磁场都垂直于传播方向。利用这个约束条件和波动方程，我们可以推导出电场的散度等于电荷密度除以真空介电常数，这就是高斯定律。对于磁场，由于不存在磁单极子，磁场的散度恒为零，表明磁场线总是闭合的。右侧图示展示了电场线从正电荷发散，而磁场线在磁偶极子周围形成闭合回路，直观地说明了这两个散度关系的物理含义。
现在我们将前面推导的所有结果汇总，构建完整的麦克斯韦方程组。第一个方程是高斯定律，描述电场的散度与电荷密度的关系。第二个方程表明磁场的散度为零，反映磁场的无源性质。第三个方程是法拉第电磁感应定律，描述变化的磁场如何产生电场。第四个方程是安培-麦克斯韦定律，描述电流和变化的电场如何产生磁场。这四个方程构成了统一的电磁场理论体系，完美地描述了电磁现象的所有基本规律，展现了电场和磁场的内在统一性。