视频字幕
极限是微积分中最重要的概念之一。当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定值L，我们就说函数在该点的极限是L。极限分为左极限和右极限，只有当左极限等于右极限时，双侧极限才存在。通过这个图像，我们可以看到当x从左侧和右侧趋近于2时，函数值的变化情况。
极限的基本法则包括加法法则、乘法法则和除法法则。加法法则说明两个函数和的极限等于各自极限的和。乘法法则表明两个函数积的极限等于各自极限的积。除法法则指出两个函数商的极限等于各自极限的商，但前提是分母的极限不为零。这些法则的应用前提是各个极限都存在。通过图像我们可以直观地看到函数的加法运算。
重要极限公式是极限计算中的重要工具。第一个重要极限是当x趋近于0时，sin x除以x的极限等于1。这个极限在三角函数相关的极限计算中经常用到。第二个重要极限是当x趋近于无穷大时，1加1除以x的x次方的极限等于自然常数e，这个极限与指数函数和对数函数密切相关。通过图像我们可以看到sin x除以x函数在x趋近于0时确实趋近于1。
洛必达法则是处理未定式极限的强大工具。当遇到零比零或无穷比无穷的未定式时，可以分别对分子分母求导，然后再求极限。使用洛必达法则需要满足一定条件：函数在该点的函数值都为零或都为无穷，导数在该点附近存在，且分母的导数不为零。例如，求sin x除以x当x趋近于0的极限，可以分别对分子分母求导得到cos x除以1，极限为1。
等价无穷小替换是简化极限计算的重要技巧。当x趋近于0时，sin x等价于x，tan x也等价于x，ln(1+x)等价于x，e的x次方减1等价于x，1减cos x等价于x平方除以2。这些等价关系在乘除运算中可以直接替换，大大简化计算过程。通过图像我们可以看到，当x接近0时，sin x与x的差异越来越小，体现了等价无穷小的概念。