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微积分是现代数学的基石，由牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发明。它包含两大分支：微分学研究函数的变化率，如曲线的切线斜率；积分学研究累积量，如曲线下的面积。这两个分支通过微积分基本定理紧密联系，为科学和工程提供了强大的数学工具。
极限是微积分的核心概念，描述函数在某点附近的趋势。当自变量x无限接近某个值a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的值L，我们就说函数在该点的极限是L。极限具有唯一性、局部有界性和保号性等重要性质，为导数和积分的定义提供了严格的数学基础。
导数是函数在某点的瞬时变化率，定义为函数增量与自变量增量比值的极限。几何上，导数表示曲线在该点的切线斜率；物理上，导数表示瞬时变化率，如速度是位移对时间的导数。常见函数的导数公式包括幂函数、三角函数和指数函数的求导规则，这些是微分学计算的基础。
积分是微积分的第二个核心概念，用于计算累积量。定积分表示曲线下的面积，不定积分表示反导数。通过黎曼和的概念，我们将曲线下的区域分割成无数个小矩形，当矩形数量趋于无穷时，矩形面积之和就是定积分的值。积分具有线性性质，是解决面积、体积和物理问题的重要工具。
微积分基本定理是微积分学的核心定理，它建立了导数和积分之间的根本联系。定理的第一部分说明，对积分上限求导等于被积函数在该点的值。第二部分提供了计算定积分的方法：定积分等于原函数在上下限的差值。这个定理揭示了微分和积分互为逆运算的本质，为微积分的实际应用奠定了理论基础。