二倍角公式与变形 **二倍角公式：** 1. **基本形式：** ``` sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α tan 2α = 2tan α/(1 - tan²α) ``` 2. **降幂公式：** ``` cos²α = (1 + cos 2α)/2 sin²α = (1 - cos 2α)/2 应用： - 化简三角函数 - 求积分 - 解三角方程 ``` 3. **升幂公式：** ``` 1 + cos 2α = 2cos²α 1 - cos 2α = 2sin²α 应用： - 证明恒等式 - 化简表达式 ``` **半角公式：** 1. **基本形式：** ``` sin²(α/2) = (1 - cos α)/2 cos²(α/2) = (1 + cos α)/2 tan²(α/2) = (1 - cos α)/(1 + cos α) ``` 2. **带符号形式：** ``` sin(α/2) = ±√[(1 - cos α)/2] cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2] tan(α/2) = ±√[(1 - cos α)/(1 + cos α)] 符号取决于α/2所在象限 ``` 3. **万能公式：** ``` 设t = tan(α/2)，则： sin α = 2t/(1 + t²) cos α = (1 - t²)/(1 + t²) tan α = 2t/(1 - t²) ``` #### 6.3 三角恒等变换的应用 **化简技巧：** 1. **辅助角公式：** ``` a sin x + b cos x = √(a² + b²) sin(x + φ) 其中：tan φ = b/a 步骤： 1. 计算√(a² + b²) 2. 确定辅助角φ 3. 写出最终形式 ```