三角恒等变换的应用 **化简技巧：** 1. **辅助角公式：** ``` a sin x + b cos x = √(a² + b²) sin(x + φ) 其中：tan φ = b/a 步骤： 1. 计算√(a² + b²) 2. 确定辅助角φ 3. 写出最终形式 ``` 2. **积化和差：** ``` sin α sin β = [cos(α - β) - cos(α + β)]/2 cos α cos β = [cos(α - β) + cos(α + β)]/2 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α - β)]/2 ``` 3. **和差化积：** ``` sin A + sin B = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] sin A - sin B = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] cos A + cos B = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] cos A - cos B = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] ``` **实际应用案例：** 1. **物理应用：** ``` 案例：波的叠加 两个同频率正弦波： y₁ = A₁sin(ωt + φ₁) y₂ = A₂sin(ωt + φ₂) 合成波： y = y₁ + y₂ = A sin(ωt + φ) 其中： A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(φ₂ - φ₁)) ``` 2. **工程应用：** ``` 案例：交流电路分析 电压：u = U_m sin(ωt + φ₁) 电流：i = I_m sin(ωt + φ₂) 功率：P = ui的平均值 利用积化和差公式计算 ``` 3. **测量应用：** ``` 案例：GPS定位 利用三角恒等变换： - 计算卫星位置 - 确定接收器坐标 - 消除误差影响 ``` **解题方法：** 1. **证明恒等式：** ``` 步骤： 1. 选择复杂的一边化简 2. 选择合适的公式 3. 逐步化简到另一边 4. 注意定义域 ``` 2. **求值问题：** ``` 方法： 1. 利用已知条件 2. 选择合适公式 3. 构造所需角度 4. 计算结果 ``` 3. **化简问题：** ``` 技巧： 1. 统一函数名 2. 统一角度 3. 降次或升次 4. 利用辅助角 ``` **练习题集：** 1. **基础题：** ``` 已知sin α = 3/5，α为第二象限角， 求sin 2α, cos 2α, tan 2α的值。 解析： 1. 由sin α = 3/5，α在第二象限 2. cos α = -4/5 3. sin 2α = 2sin α cos α = 2 × (3/5) × (-4/5) = -24/25 4. cos 2α = cos²α - sin²α = 16/25 - 9/25 = 7/25 5. tan 2α = sin 2α/cos 2α = -24/7 ``` 2. **中档题：** ``` 化简：sin 20° + sin 40° + sin 80° 解析： 1. 利用和差化积公式 2. sin 20° + sin 80° = 2sin 50°cos 30° 3. = 2sin 50° × (√3/2) = √3 sin 50° 4. 原式 = √3 sin 50° + sin 40° 5. 注意到sin 50° = cos 40° 6. 最终结果为3√3/2 ``` 3. **难度题：** ``` 求证：cos 4α = 8cos⁴α - 8cos²α + 1 证明： 1. cos 4α = cos(2 × 2α) 2. = 2cos²2α - 1 3. 其中cos 2α = 2cos²α - 1 4. 代入得：cos 4α = 2(2cos²α - 1)² - 1 5. 展开并化简即可证明 ```