两角和与差的三角函数公式 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[三角恒等变换] --> B[基本公式] A --> C[变换技巧] A --> D[应用] B --> B1[和差公式] B --> B2[二倍角公式] B --> B3[半角公式] C --> C1[公式选择] C --> C2[化简技巧] C --> C3[证明方法] D --> D1[三角方程] D --> D2[三角不等式] D --> D3[实际应用] ``` **基本公式：** 1. **两角和与差的余弦：** ``` cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β 记忆方法： - 余弦在前，符号相反 - "余余正正，符号相反" 特殊情况： cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β ``` 2. **两角和与差的正弦：** ``` sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β 记忆方法： - 正弦在前，符号相同 - "正余余正，符号相同" 特殊情况： sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β ``` 3. **两角和与差的正切：** ``` tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β) 记忆方法： - 分子：直接加减 - 分母：1减乘积（和）或1加乘积（差） 注意：需要考虑定义域 ``` **公式推导：** 1. **几何推导：** ``` 利用单位圆上的点： - A(cos α, sin α) - B(cos β, sin β) - 利用向量数量积 - 得到cos(α - β)公式 ``` 2. **代数推导：** ``` 从cos(α - β)出发： 1. cos(α + β) = cos[α - (-β)] 2. sin(α ± β) = cos[π/2 - (α ± β)] 3. tan(α ± β) = sin(α ± β)/cos(α ± β) ```