向量的数量积 **基本概念：** 1. **数量积定义：** ``` a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ 特点： - 结果是标量 - θ是夹角 - 与顺序无关 ``` 2. **坐标表示：** ``` a⃗(x₁,y₁)·b⃗(x₂,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂ 推导： - 利用夹角公式 - 利用向量分解 ``` 3. **几何意义：** ``` a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ 表示： - 一个向量在另一个向量方向上的投影 - 做功的物理意义 ``` **重要性质：** 1. **运算律：** ``` 交换律：a⃗·b⃗ = b⃗·a⃗ 分配律：(ka⃗)·b⃗ = k(a⃗·b⃗) 结合律：不成立 ``` 2. **特殊情况：** ``` 垂直：a⃗⊥b⃗ ⟺ a⃗·b⃗ = 0 平行：a⃗∥b⃗ ⟺ |a⃗·b⃗| = |a⃗||b⃗| 模长：|a⃗|² = a⃗·a⃗ ``` 3. **向量夹角：** ``` cos θ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|) 应用： - 求夹角 - 判断垂直 - 判断平行 ``` **实际应用：** 1. **物理应用：** ``` 案例：功的计算 W = F⃗·s⃗ = |F⃗||s⃗|cos θ 应用： - 力的功 - 电功率 - 能量转换 ``` 2. **几何应用：** ``` 案例：三角形的性质 应用： - 求面积 - 证明垂直 - 证明平行 - 求投影 ``` 3. **工程应用：** ``` 案例：结构分析 应用： - 受力分析 - 应力计算 - 稳定性判断 ``` **解题技巧：** 1. **选择方法：** ``` 向量法适用情况： - 涉及平行、垂直 - 涉及长度比例 - 涉及角度关系 ``` 2. **建立向量：** ``` 步骤： 1. 选取合适的向量 2. 确定运算关系 3. 利用向量性质 4. 得出结论 ``` 3. **综合运用：** ``` 方法： - 结合解析几何 - 结合三角函数 - 结合平面几何 ```