向量的坐标表示 **基本概念：** 1. **向量的坐标：** ``` 在平面直角坐标系中： a⃗ = (x,y) = xi⃗ + yj⃗ 特点： - i⃗为x轴单位向量 - j⃗为y轴单位向量 - 可唯一确定向量 ``` 2. **向量的模：** ``` |a⃗| = √(x² + y²) 应用： - 计算向量长度 - 判断单位向量 - 求两点距离 ``` 3. **方向角：** ``` 向量与x轴正方向的夹角α： cos α = x/|a⃗| sin α = y/|a⃗| tan α = y/x ``` **坐标运算：** 1. **向量加减法：** ``` 设a⃗(x₁,y₁), b⃗(x₂,y₂) 加法： a⃗ + b⃗ = (x₁+x₂, y₁+y₂) 减法： a⃗ - b⃗ = (x₁-x₂, y₁-y₂) ``` 2. **数乘运算：** ``` k为实数，a⃗(x,y) ka⃗ = (kx,ky) 特殊情况： - k=0：零向量 - k=1：原向量 - k=-1：相反向量 ``` 3. **向量分解：** ``` 任意向量可分解为： a⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ 应用： - 力的分解 - 速度分解 - 位移分解 ```

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

在平面直角坐标系中，任意向量都可以用坐标形式唯一表示。向量a等于括号x逗号y，也可以写成x倍单位向量i加上y倍单位向量j的形式。其中x和y是向量的坐标分量，单位向量i表示x轴正方向，单位向量j表示y轴正方向。例如，向量a等于括号3逗号2，表示从原点出发，在x方向移动3个单位，在y方向移动2个单位到达的点。 向量的模长表示向量的长度，可以通过坐标计算得出。对于向量a等于括号x逗号y，其模长公式为：模长a等于根号下x的平方加y的平方。这个公式来源于勾股定理，向量从原点到点括号x逗号y的距离就是向量的模长。例如，向量a等于括号3逗号2，其模长等于根号下3的平方加2的平方，等于根号13。通过这个公式，我们可以计算任意向量的长度。 方向角是向量与x轴正方向的夹角，用来描述向量的方向。对于向量a等于括号x逗号y，方向角α满足以下关系：余弦α等于x除以向量a的模长，正弦α等于y除以向量a的模长，正切α等于y除以x。例如，对于向量a等于括号3逗号2，其方向角的正切值等于2除以3。通过这些公式，我们可以根据向量的坐标计算出方向角，也可以根据模长和方向角求出向量的坐标。 向量的加减运算可以通过坐标分别进行计算。对于向量a等于括号x1逗号y1和向量b等于括号x2逗号y2，向量加法的结果是括号x1加x2逗号y1加y2，向量减法的结果是括号x1减x2逗号y1减y2。例如，设向量a等于括号2逗号1，向量b等于括号1逗号2，那么向量a加向量b等于括号3逗号3，向量a减向量b等于括号1逗号负1。这种坐标运算方法比几何作图更加便利和准确。 数乘运算是标量与向量的乘法，改变向量的长度和方向。对于向量a等于括号x逗号y，数乘运算的结果是k倍向量a等于括号kx逗号ky。k值的不同取值对向量有不同影响：当k等于0时得到零向量，k等于1时保持原向量，k等于负1时得到相反向量。当k大于1时向量伸长，当k在0到1之间时向量缩短，当k小于0时向量反向。例如，2倍向量a等于2乘以括号2逗号1等于括号4逗号2。