平面向量的概念与运算 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[平面向量] --> B[基本概念] A --> C[运算法则] A --> D[应用] B --> B1[向量定义] B --> B2[向量关系] B --> B3[向量分类] C --> C1[加减法] C --> C2[数乘] C --> C3[数量积] D --> D1[几何证明] D --> D2[物理应用] D --> D3[工程应用] ``` **基本概念：** 1. **向量的定义：** ``` 向量：既有大小又有方向的量 表示方法： - 几何表示：箭头表示 - 代数表示：坐标表示 - 模长表示：|a⃗| ``` 2. **向量的特征：** ``` 三要素： - 大小（模长） - 方向 - 起点位置（对自由向量无关） 分类： - 零向量：模为0 - 单位向量：模为1 - 基本向量：i⃗, j⃗ ``` 3. **向量的关系：** ``` 相等向量： - 大小相等 - 方向相同 - 平行移动不改变 相反向量： - 大小相等 - 方向相反 - 记作-a⃗ ``` **向量运算：** 1. **向量加法：** ``` 三角形法则： - 首尾相接 - 起点到终点 平行四边形法则： - 同起点 - 对角线即和 运算律： - 交换律：a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ - 结合律：(a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗) ``` 2. **向量减法：** ``` 定义： a⃗ - b⃗ = a⃗ + (-b⃗) 几何意义： - 起点相同 - 终点相减 ``` 3. **数乘向量：** ``` 定义： k为实数，ka⃗表示数乘 性质： - |ka⃗| = |k||a⃗| - 方向：k>0同向，k<0反向 - k=0得零向量，可以再次基础上丰富一点知识