三角函数的图像与性质 **正弦函数：** 1. **基本性质：** ``` y = sin x 定义域：R 值域：[-1,1] 周期：2π 奇偶性：奇函数 零点：kπ（k∈Z） 最大值：1，当x = π/2 + 2kπ 最小值：-1，当x = -π/2 + 2kπ ``` 2. **图像特征：** ``` - 过点(0,0) - 关于原点对称 - 在[-π/2,π/2]上单调递增 - 在[π/2,3π/2]上单调递减 ``` 3. **图像变换：** ``` y = A sin(ωx + φ) + k A：振幅，影响波峰波谷 ω：角频率，影响周期 φ：初相位，影响平移 k：上下平移 ``` **余弦函数：** 1. **基本性质：** ``` y = cos x 定义域：R 值域：[-1,1] 周期：2π 奇偶性：偶函数 零点：π/2 + kπ（k∈Z） 最大值：1，当x = 2kπ 最小值：-1，当x = π + 2kπ ``` 2. **图像特征：** ``` - 过点(0,1) - 关于y轴对称 - 在[0,π]上单调递减 - 在[π,2π]上单调递增 ``` 3. **图像变换：** ``` y = A cos(ωx + φ) + k 变换规律同正弦函数 与正弦函数相差相位π/2 ``` **正切函数：** 1. **基本性质：** ``` y = tan x 定义域：x ≠ π/2 + kπ（k∈Z） 值域：R 周期：π 奇偶性：奇函数 零点：kπ（k∈Z） 无最大值最小值 ``` 2. **图像特征：** ``` - 过点(0,0) - 关于原点对称 - 有无穷多条渐近线 - 在定义域内单调递增 ``` 3. **图像变换：** ``` y = A tan(ωx + φ) + k 变换规律类似，但注意： - 渐近线位置的变化 - 定义域的变化 ``` **实际应用：** 1. **物理应用：** ``` 案例：简谐运动 模型：x = A sin(ωt + φ) 应用： - 弹簧振动 - 单摆运动 - 交流电 ``` 2. **工程应用：** ``` 案例：信号处理 应用： - 波形分析 - 频谱分析 - 滤波设计 ``` 3. **生活应用：** ``` 案例：潮汐预测 模型：h = h₀ + A sin(ωt + φ) 应用： - 潮汐表制作 - 航运规划 - 海洋工程 ```