Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy 18 ago 2025, 9:53 Introduction to the coordinate plane | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy Play 11:21 11:21 Mute Settings Esto aquí es una foto de René Descartes, una vez más, uno de los grandes mentes en tanto la matemática como la filosofía. Y creo que ves aquí un poco de un tren de que los grandes filósofos también eran grandes matemáticos, y viceversa. Y él era un poco contemporáneo de Galileo, tenía 32 años más joven, aunque murió recientemente después de que Galileo muriera. Este tipo murió a mucho más joven. Galileo estaba bien en sus 70, Descartes murió cuando tenía solo 54 años. Y probablemente es el más conocido en la cultura popular por este cuento aquí, un cuento muy filosófico, "'Creo, por lo que soy". Pero también quería agregar, y esto no está relacionado con la algebra, pero pensé que era un cuento muy bonito, probablemente su cuento más famoso, este de aquí. Y me gusta porque es muy práctico, te hace realizar que estos grandes mentes, estos pilares de la filosofía y la matemática, al final del día realmente eran solo seres humanos. Y él dijo, tú solo sigues empujando, tú solo sigues empujando. Yo hice cada error que podía ser hecho, pero yo solo seguía empujando, lo que creo que es muy, muy buen consejo de vida. Ahora, él hizo muchas cosas en la filosofía y en la matemática, pero la razón por la que lo incluyo aquí mientras construimos nuestras fundaciones de la algebra es que él es el individuo más responsable de una conexión muy fuerte entre la algebra y la geometría. Así que a la izquierda aquí tienes el mundo de la algebra, y lo hemos discutido un poco. Tienes ecuaciones que tienen símbolos y estos símbolos esencialmente pueden tomar valores. Así que podrías tener algo como y es igual a 2x, y es igual a 2x menos 1. Esto nos da una relación entre lo que sea x y lo que sea y. Y podemos incluso establecer una tabla aquí y elegir valores para x y ver qué serían los valores de y. Y yo podría elegir valores random para x y luego descubrir qué es y, pero elegiré valores relativamente directos para que la matemática no se complique demasiado. Por ejemplo, si x es negativo 2, entonces y va a ser 2 veces negativo 2 menos 1, 2 veces negativo 2 menos 1, que es negativo 4, negativo 4 menos 1, que es negativo 5. Si x es negativo 1, entonces y va a ser 2 veces negativo 1, 2 veces negativo 1 menos 1, que es igual a, esto es negativo 2 menos 1, que es negativo 3. Si x es igual a 0, x es igual a 0, entonces y va a ser 2 veces 0 menos 1, 2 veces 0 es 0 menos 1, es solo negativo 1. Haré un par más. Si x es 1, y podría haber elegido cualquier valor aquí, podría haber dicho, bueno, ¿qué sucede si x es el negativo cuadrado de 2? ¿O qué sucede si x es el negativo cuadro de 5? ¿O positivo 6 7? Pero solo estoy elegiendo estos números porque hace la matemática mucho más fácil cuando intento descubrir qué va a ser y. Pero cuando x es 1, y va a ser 2 veces 1 menos 1. 2 veces 1 es 2, menos 1 es 1. Y haré un par más. Haré un par más en un color que todavía no he usado. Veamos, este azul. Si x es 2, entonces y va a ser 2 veces 2, ahora nuestro x es 2, menos 1. Menos 1, entonces 4 menos 1 es igual a 3. Así que está bien. Simplemente samplé esta relación. Dije, bien, esto describe una relación general entre una variable y y una variable x. Y luego solo hice un poco más concreto. Dije, bien, si x es una de estas variables, para cada uno de estos valores de x, ¿cuál sería el valor correspondiente de y? Y lo que Descartes se dio cuenta es que se podía visualizar esto. Uno, se podía visualizar estos puntos individuos, pero también se podía visualizar esta relación en general. Y lo que básicamente hizo es que brindó los mundos de este tipo de algebra muy simbólica y abstracta, y eso y la geometría, que se preocupaba con formas y tamaños y ángulos. Así que aquí tienes el mundo de la geometría. Y obviamente hay gente en la historia, tal vez muchas personas que la historia puede haber olvidado, que podrían haber dudado en esto, pero antes de Descartes, se vio generalmente que la geometría era la geometría euclideana, y eso es esencialmente la geometría que estudias en una clase de geometría en el 8º o 9º grado o 10º grado en un currículum tradicional de la escuela de alta edad. Y esa es la geometría de estudiar las relaciones entre los triángulos y sus ángulos y las relaciones entre los círculos, y tienes radii y luego tienes triángulos inscritos en los círculos y todo lo demás, y vamos a ir a algún depto en la playlist de geometría. Pero Descartes dice, bueno, creo que puedo representar esto visualmente de la misma manera que Euclid estudiaba estos triángulos y estos círculos. Él dijo, bueno, ¿por qué no si miramos un pedazo de papel? Si pensamos en un plano dos dimensiones, podríamos mirar un pedazo de papel como una sección de un plano dos dimensiones. Lo llamamos dos dimensiones porque hay dos direcciones en las que podrías ir. Hay la dirección de arriba y abajo, esa es una dirección. Así que déjame dibujar eso. Lo haré en azul porque estamos empezando a hacer, estamos empezando a visualizar cosas, así que lo haré en color de la geometría. Así que tienes la dirección de arriba y abajo, tienes la dirección de arriba y abajo y tienes la dirección de izquierda y derecha. Por eso se llama un plano dos dimensiones. Si estuviéramos tratando de tres dimensiones, tendrías una dimensión dentro y fuera. Dentro y afuera. Y es muy fácil hacer dos dimensiones en la pantalla porque la pantalla es dos dimensionales. Y él dice, bueno, hay dos variables aquí y tienen esta relación. Entonces, ¿por qué no asocio cada una de estas variables con una de estas dimensiones aquí? Y por convención, hagamos la variable Y, que es realmente la variable dependiente. De la manera en que lo hicimos, depende de lo que es X. Pongámoslo en el áxis vertical y pongámos nuestra variable independiente, la cual simplemente elegí valores a razón para ver qué sería Y. Pongámoslo en el áxis horizontal. Y en realidad fue Descartes quien se dio cuenta de la convención de usar Xs y Ys y veremos más tarde Zs en la algebra tan extensamente como variables desconocidas o las variables que estás manipulando. Pero él dice, bueno, si pensamos de esta manera, si numeramos estas dimensiones, digamos que en la dirección X, hagamos esto aquí, esto aquí es negativo 3, hagamos esto negativo 2, esto es negativo 1, esto es 0. Ahora solo estoy numerando la dirección X, la dirección izquierda y derecha. Ahora esto es positivo 1, esto es positivo 2, esto es positivo 3. Y podemos hacer lo mismo en la dirección Y. Vamos a ver, esto podría ser, digamos que esto es negativo 5, negativo 4, negativo 3, negativo... De hecho, déjame hacerlo un poco más bonito que eso. Déjame limpiar esto un poco. Déjame borrar esto y extenderlo un poco para que pueda ir todo el camino hasta negativo 5 sin hacer que parezca demasiado complicado. Vamos a ir todo el camino hasta aquí. Y así podemos numerarlo. Esto es 1, esto es 2, esto es 3. Y luego esto podría ser negativo 1, negativo 2. Estas son convenciones. Podría haber sido labelado de otra manera. Podríamos haber decidido poner la X allí y la Y allí y hacer esto la dirección positiva y hacer esto la dirección negativa. Pero esto es solo una convención que la gente adoptó empezando con Descartes. Negativo 2, negativo 3, negativo 4 y negativo 5. Y dice, bueno, creo que puedo asociar puedo asociar cada una de estas pares de valores con un punto en dos dimensiones. Puedo tomar la coordenada de X. Puedo tomar el valor de X aquí. Y digo, bien, eso es negativo 2. Ese sería justo allí en la dirección de izquierda a derecha. Voy a la izquierda porque es negativo. Y eso está asociado con negativo 5 en la dirección vertical. Así que digo que el valor de Y es negativo 5. Y así, si voy 2 a la izquierda, 2 a la izquierda y 5 abajo, y 5 abajo, llego a este punto justo allí. Así que dice, estos dos valores, negativo 2, negativo 5, puedo asociarlo con este punto en este plano justo aquí, en este plano dos dimensiones. Así que diré que ese punto tiene las coordenadas. Me dice dónde encontrar ese punto, negativo 2, negativo 5. Y estas coordenadas se llaman coordenadas cartesianas, nombradas por René Descartes. Él es el tipo que creó estas. Está asociando de repente estas relaciones con puntos en un plano de coordenadas. Y luego dice, bueno, bien, hagamos otra. Hay esta otra relación donde tengo, cuando X es igual a negativo 1, cuando X es igual a negativo 1, Y es igual a negativo 3. Así que X es negativo 1, Y es negativo 3. Ese es el punto justo allí. Y la convención es, de nuevo, cuando listas las coordenadas, listas la coordenada X, luego la coordenada Y. Y eso es lo que la gente decidió hacer. Negativo 1, negativo 3. Ese sería ese punto justo allí. Y luego tienes el punto, cuando X es 0, Y es negativo 1. Cuando X es 0, justo aquí, lo que significa que no voy a la izquierda o a la derecha, Y es negativo 1, lo que significa que voy 1 abajo. Así que ese es el punto justo allí, 0, negativo 1, justo allí. Y puedo seguir haciendo esto. Cuando X es 1, Y es 1. Cuando X es 1, Y es 1. Cuando X es 2, Y es 3. Cuando X es 2, Y es 3. De hecho, déjame hacerlo en ese mismo color azul. Cuando X es 2, Y es 3. 2, 3. Y luego este 1 justo aquí en naranja fue 1, 1. Y esto es genial por sí mismo. Yo, esencialmente, solo mostré posibles X. Pero lo que él realiza es, no solo muestras estas posibles X, sino que si solo mantuvieras mostrando X, si intentabas mostrar todas las X entre ellas, en realidad acabarías plotando una línea. Así que si hicieras cada posible X, acabarías obteniendo una línea que parecía algo así. Una línea que parecía algo así. Justo allí. Y cualquier relación, si escoges cualquier X y encuentras cualquier Y, realmente representa un punto en esta línea. Otra manera de pensarlo, cualquier punto en esta línea representa una solución a esta ecuación aquí. Así que si tienes este punto aquí, que parece que es X es 1,5, Y es 2. Déjame escribirlo. 1,5, 2. Esa es una solución a esta ecuación. Cuando X es 1,5, 2 veces 1,5 es 3, menos 1 es 2. Eso es allí. Así que de repente, él fue capaz de bridjar este espacio o esta relación entre algebra y geometría. Ahora podemos visualizar todas las pares X y Y que satisfacen esta ecuación aquí. Y así que él es responsable de hacer esta pared. Y por eso las coordenadas que usamos para especificar estos puntos se llaman coordenadas cartesianas. Y como veremos, los primeros tipos de ecuaciones que estudiaremos son ecuaciones de esta forma aquí. Y en un currículum de algebra tradicional se llaman ecuaciones lineares. Ecuaciones lineares. Y podrías estar diciendo, bueno, esta es una ecuación, veo que esto es igual a eso, pero ¿qué es tan lineal? ¿Qué hace que parezca una línea? Y para saber por qué son lineales, tienes que hacer este salto que René Descartes hizo. Porque si plotaras esto usando las coordenadas cartesianas en un plano euclideano, obtendrás una línea. Y en el futuro veremos que hay otros tipos de ecuaciones donde no obtendrás una línea, donde obtendrás una curva o algo un poco loco o funky.