二次函数是数学中的重要函数类型，其标准形式为 y 等于 a x 平方加 b x 加 c。其中 a 是二次项系数且不能为零，它决定了抛物线的开口方向。当 a 大于零时，抛物线开口向上；当 a 小于零时，抛物线开口向下。参数 b 影响对称轴的位置，参数 c 决定了函数图像与 y 轴的交点。
抛物线具有重要的轴对称性质，其对称轴方程为 x 等于负 b 除以 2a。我们可以通过配方法推导这个公式。将二次函数 y 等于 a x 平方加 b x 加 c 进行配方，最终得到顶点式，从中可以看出对称轴为 x 等于负 b 除以 2a。以函数 y 等于 x 平方减 4x 加 3 为例，其对称轴为 x 等于 2。改变参数 b 的值，可以看到对称轴位置的变化。
抛物线的顶点是函数图像的最高点或最低点，也是函数的最值点。顶点坐标公式为：横坐标是负 b 除以 2a，纵坐标是 4ac 减 b 平方再除以 4a。我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式 y 等于 a 乘以 x 减 h 的平方加 k，其中 h 和 k 就是顶点坐标。当 a 大于 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
二次函数与坐标轴的交点具有重要意义。与 y 轴的交点很容易求得，当 x 等于 0 时，y 等于 c，所以交点坐标为 (0, c)。与 x 轴的交点需要解方程 a x 平方加 b x 加 c 等于 0。交点的个数由判别式决定：当判别式大于 0 时有两个交点，等于 0 时有一个交点，小于 0 时无交点。以 y 等于 x 平方减 3x 加 2 为例，判别式等于 1 大于 0，所以有两个 x 轴交点。
现在我们综合分析二次函数的所有性质。以函数 y 等于负 2x 平方加 4x 加 1 为例。首先，由于 a 等于负 2 小于 0，所以抛物线开口向下。对称轴为 x 等于 1，顶点坐标为 (1, 3)，这也是函数的最大值点。函数的定义域是全体实数，值域是负无穷到 3。在对称轴左侧函数递增，右侧函数递减。与 y 轴交点为 (0, 1)，与 x 轴有两个交点。这样我们就完整描述了二次函数的所有重要性质。