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向量是数学中一个重要概念，它既有大小又有方向。我们用有向线段来表示向量，记作向量a或AB。向量的基本要素包括大小、方向、起点和终点。两个向量相等当且仅当它们的大小相等且方向相同，这意味着向量可以平移而保持不变。
向量加法有两种重要的几何表示方法。三角形法则是将第二个向量的起点放在第一个向量的终点，结果向量从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。平行四边形法则是将两个向量的起点重合，以这两个向量为邻边构成平行四边形，结果向量是从共同起点指向对角顶点的向量。向量加法满足交换律和结合律。
向量减法可以理解为加上一个相反向量，即向量a减去向量b等于向量a加上负向量b。几何上，向量a减去向量b表示从向量b的终点指向向量a的终点。数量乘法是指一个实数与向量相乘。当k大于0时，结果向量方向不变，长度变为k倍；当k小于0时，结果向量方向相反，长度变为k的绝对值倍；当k等于0时，结果为零向量。
向量数量积，也称为点积，是向量运算中的重要概念。数量积的定义是两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的余弦值。在坐标系中，数量积等于对应坐标分量乘积的和。几何上，数量积表示一个向量在另一个向量方向上的投影长度与该向量模长的乘积。特别地，当两个向量垂直时，它们的数量积为零。
向量运算具有许多重要的性质和运算律。向量加法满足交换律、结合律，并且存在零向量作为加法单位元。数量乘法满足结合律和分配律。向量数量积满足交换律，并且与数量乘法和向量加法都有分配律。这些运算律使我们能够像处理普通代数一样处理向量运算，大大简化了复杂向量表达式的计算。掌握这些性质对于解决实际问题非常重要。