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等比数列是数学中一种重要的数列类型。它的定义是：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，且q不等于0。比如数列2、4、8、16、32，每相邻两项的比值都是2，所以公比q等于2。再比如数列3、6、12、24、48，公比同样是2。通过这些例子，我们可以清楚地看到等比数列的规律性。
现在我们来分析等比数列的一个特殊情况。当公比q等于1时，等比数列的每一项都相等。在这种情况下，前n项和的计算变得非常简单，公式为Sₙ等于n乘以a₁。让我们看一个具体例子：数列2、2、2、2等等，首项a₁等于2，公比q等于1。要计算前5项和，我们只需要用5乘以2，得到10。这个特殊情况虽然简单，但在等比数列求和公式体系中是很重要的基础。
今天我们来学习等比数列求和公式。等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，且q不等于零。例如数列2、4、8、16、32，首项为2，公比为2。
对于首项为a₁，公比为q的等比数列，其前n项和S_n的公式分两种情况。当q等于1时，等比数列的每一项都相等，此时S_n等于n乘以a₁。比如数列2、2、2、2，首项a₁等于2，那么前5项和S₅等于5乘以2等于10。当q不等于1时，S_n等于a₁乘以1减q的n次方除以1减q，或者等于a₁减a_n乘以q除以1减q。
现在我们来学习错位相减法，这是推导等比数列求和公式的核心方法。首先，我们写出前n项和的表达式：Sₙ等于a₁加a₁q加a₁q²一直加到a₁q的n减1次方，这是等式①。然后，我们将等式①的两边同时乘以q，得到qSₙ等于a₁q加a₁q²加a₁q³一直加到a₁q的n次方，这是等式②。接下来是关键步骤：用等式①减去等式②，左边得到Sₙ减qSₙ，右边中间的项都会相互抵消，只剩下a₁减a₁q的n次方。最终解出Sₙ等于a₁乘以1减q的n次方除以1减q。
让我们通过一个具体例子来应用等比数列求和公式。已知等比数列2、6、18、54等等，首项a₁等于2，公比q等于3，求前5项和S₅。根据公式，S₅等于a₁乘以1减q的5次方除以1减q，代入数值得到2乘以1减3的5次方除以1减3，计算3的5次方等于243，所以等于2乘以1减243除以负2，等于2乘以负242除以负2，最终得到S₅等于242。
等比数列求和在实际生活中也有重要应用。比如复利计算问题：某人每年年初往银行存1000元，年利率为2%，按复利计算，n年后的存款总额如何计算？我们分析可知，第1年存入的钱到第n年变成1000乘以1.02的n次方，第2年存入的钱变成1000乘以1.02的n减1次方，以此类推。这构成一个首项为1020，公比为1.02的等比数列。应用求和公式，最终得到总存款为51000乘以1.02的n次方减1。
等比数列求和公式有两种等价的表达形式。第一种形式是Sₙ等于a₁乘以1减qⁿ除以1减q，第二种形式是Sₙ等于a₁减aₙq除以1减q。这两种形式是完全等价的。我们来验证它们的等价性：由于aₙ等于a₁乘以q的n减1次方，所以aₙq等于a₁qⁿ，因此a₁减aₙq等于a₁减a₁qⁿ，提取公因子a₁得到a₁乘以1减qⁿ。通过数值验证，当a₁等于2，q等于3，n等于4时，a₄等于54，用第二种公式计算S₄等于80，与第一种公式结果一致。
现在我们来看一个实际应用案例。某人每年年初往银行存1000元，年利率为2%，按复利计算，n年后的存款总额如何计算？我们来分析这个问题：第1年存入的1000元，经过n年复利增长，变成1000乘以1.02的n次方；第2年存入的1000元，经过n减1年增长，变成1000乘以1.02的n减1次方；以此类推。这样就构成了一个首项为1000乘以1.02，公比为1.02的等比数列。应用等比数列求和公式，我们得到Sₙ等于1020乘以1减1.02的n次方除以1减1.02，化简后得到51000乘以1.02的n次方减1。这就是n年后的存款总额公式。