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函数是数学中的核心概念，用来描述两个变量之间的对应关系。在日常生活中，我们经常遇到这样的对应关系，比如时间对应温度，商品数量对应价格等。函数的严格定义是：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数。函数最重要的特征是唯一性，即每个输入值只能对应一个输出值。
函数有三种主要的表示方法。第一种是解析法，也叫公式法，用数学表达式来表示函数关系，比如f(x)等于x的平方。这种方法简洁明了，便于进行各种计算。第二种是列表法，也叫表格法，用表格的形式列出自变量和因变量的对应关系。这种方法直观清楚，特别适用于定义域为有限集的函数。第三种是图像法，在坐标平面上用图形来表示函数关系。这种方法形象直观，便于分析函数的性质和特征。这三种表示方法各有特点，在不同情况下选择合适的表示方法能更好地理解和应用函数。
定义域和值域是函数的两个重要概念。定义域是函数中自变量的取值范围，值域是函数中因变量的取值范围。求定义域时需要注意：分式函数的分母不能为零，根式函数的被开方数要大于等于零，对数函数的真数要大于零。对于复合函数，要求各部分定义域的交集。求值域的方法有观察法、配方法、单调性法和图像法等。例如函数f(x)等于根号下x减1再加2，其定义域是x大于等于1，值域是f(x)大于等于2。通过图像可以直观地看出函数的定义域和值域。
函数有三个重要的性质：单调性、奇偶性和周期性。单调性描述函数值随自变量变化的趋势，单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。奇偶性反映函数图像的对称性，奇函数满足f负x等于负f(x)，图像关于原点对称；偶函数满足f负x等于f(x)，图像关于y轴对称。周期性表示函数具有重复性，如果存在正数T使得f(x加T)等于f(x)恒成立，则T为函数的周期。这些性质帮助我们更好地理解和分析函数的特征。
复合函数和反函数是函数理论中的重要概念。复合函数是由两个或多个函数复合而成的新函数，设y等于f(u)，u等于g(x)，则y等于f(g(x))称为f与g的复合函数。复合函数的定义域是使g(x)有意义且g(x)属于f的定义域的x的集合。反函数是原函数的逆运算，若函数f从A到B是一一对应的，则存在反函数f的负一次方从B到A。反函数具有重要性质：f(f的负一次方(x))等于x，反函数的图像与原函数图像关于直线y等于x对称。求反函数的步骤是：先由y等于f(x)解出x，再交换x、y，最后确定定义域。