那讲讲韦达定理，它在初高中数学尤其是初中一元二次方程以及高中解析几何中都有重要应用。 对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a≠0\)），如果方程的两根为\(x_1\)和\(x_2\)，根据求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) ，我们可以推导出韦达定理：\(x_1 + x_2 =-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\) 。 在初中，当我们已知一元二次方程的一个根，利用韦达定理就能快速求出另一个根。例如方程\(x^{2}-5x + 6 = 0\)，根据韦达定理，设两根为\(x_1\)，\(x_2\)，则\(x_1 + x_2 = 5\)，\(x_1x_2 = 6\) ，如果知道\(x_1 = 2\)，那么\(x_2 = 5 - 2 = 3\) 。 到了高中，在解析几何里，直线与圆锥曲线联立得到一元二次方程后，韦达定理常常用来解决弦长问题、中点问题等。比如直线\(y = kx + m\)与椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)联立，得到关于\(x\)的一元二次方程，通过韦达定理得到两根之和与两根之积，进而求出弦长\(\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}\)，这里\(x_1\)，\(x_2\)就是直线与椭圆交点的横坐标。

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韦达定理是数学中一个非常重要的定理，它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系。对于标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，如果方程有两个根x₁和x₂，那么这两个根的和等于负b除以a，两个根的积等于c除以a。这个定理在初中和高中数学中都有广泛的应用。 现在我们来推导韦达定理。首先写出一元二次方程的求根公式，然后分别表示两个根x₁和x₂。接下来计算两根之和：将两个根相加，分子中的根号项相互抵消，得到负2b除以2a，化简后得到负b除以a。类似地，计算两根之积：利用平方差公式，最终得到c除以a。这样我们就从求根公式严格推导出了韦达定理。 现在我们通过一个具体例题来看韦达定理在初中的应用。对于方程x²减5x加6等于0，已知一根x₁等于2，求另一根x₂。首先识别系数：a等于1，b等于负5，c等于6。然后应用韦达定理：两根之和等于5，两根之积等于6。由于已知x₁等于2，所以x₂等于5减2等于3。最后验证：2加3等于5，2乘3等于6，都符合韦达定理，答案正确。 在高中解析几何中，韦达定理有着重要应用。当直线y等于kx加m与椭圆x²除以a²加y²除以b²等于1联立时，我们将直线方程代入椭圆方程，整理后得到关于x的一元二次方程。设两个交点的横坐标为x₁和x₂，根据韦达定理可以得到x₁加x₂和x₁乘x₂的值。利用这些关系，我们可以计算弦长公式：AB的长度等于根号下1加k²乘以根号下x₁加x₂的平方减去4倍x₁乘x₂。这种方法在处理圆锥曲线问题时非常有效。 最后我们来总结韦达定理的应用技巧。在初中阶段，主要用于快速求另一根和构造新方程。在高中阶段，广泛应用于解析几何中的弦长、中点等问题。使用时要注意确保二次项系数不为零，判别式大于等于零，以及符号的准确性。韦达定理的优势在于计算简便、思路清晰、应用广泛。通过对比传统求根公式，我们可以看出韦达定理在解决对称性问题时的独特优势，是数学学习中不可或缺的重要工具。