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导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。从几何角度看，导数就是函数曲线在该点的切线斜率。我们可以通过割线逼近切线的过程来理解导数的定义。当两点之间的距离趋于零时，割线就变成了切线，其斜率就是导数值。
求导法则是计算复杂函数导数的重要工具。幂函数法则告诉我们x的n次方的导数是n倍x的n减1次方。乘积法则用于两个函数相乘的情况。商法则处理函数相除的导数。最重要的是链式法则，它处理复合函数的求导。比如对于函数括号3x平方加2x的5次方，我们设u等于3x平方加2x，则原函数变为u的5次方，应用链式法则得到最终结果。
积分是微积分的另一个核心概念，它是导数的逆运算。从几何角度看，定积分表示函数曲线与x轴之间围成的面积。我们可以通过黎曼和的概念来理解积分，即用无数个小矩形的面积之和来逼近曲线下的面积。当矩形数量趋于无穷时，这个和就是定积分的值。例如，计算x平方从0到2的定积分，我们先找到原函数x立方除以3，然后计算F(2)减去F(0)，得到结果8/3。
积分计算有多种重要方法。基本积分公式处理简单的幂函数和三角函数。换元积分法用于处理复合函数，比如积分sin(2x)，我们设u等于2x，将积分转化为更简单的形式。分部积分法用于两个函数相乘的情况，比如积分x乘以e的x次方，我们设u等于x，dv等于e的x次方dx，应用分部积分公式得到最终结果。这些方法的掌握需要大量练习和对函数性质的深入理解。
微积分基本定理是微积分理论的核心，它揭示了导数和积分之间的深刻联系。定理的第一部分告诉我们，对积分上限求导等于被积函数在该点的值。第二部分提供了计算定积分的方法：找到原函数，然后计算上限值减去下限值。例如，计算3x平方加2x从0到2的定积分，我们先找到原函数x立方加x平方，验证其导数确实是原函数，然后计算F(2)减去F(0)，得到结果12。这个定理大大简化了定积分的计算过程。