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我们来看这道关于一元二次方程的题目。已知方程x²-2x+m-1=0有两个实数根，需要求出实数m的取值范围。首先理解一元二次方程的标准形式ax²+bx+c=0，在我们的题目中，系数a等于1，b等于负2，c等于m减1。图中展示了一个抛物线的示例，两个红点表示方程的实数根。
现在我们学习判别式理论。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，判别式Δ等于b²减4ac。判别式的值决定了方程根的性质：当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程无实数根。由于题目要求方程有两个实数根，这意味着判别式必须大于等于0。
现在我们将题目中的系数代入判别式公式进行计算。已知a等于1，b等于负2，c等于m减1。将这些值代入判别式公式：Δ等于b²减4ac，得到Δ等于负2的平方减去4乘以1乘以括号m减1。计算得：Δ等于4减去4倍的括号m减1，展开括号得到Δ等于4减去4m加4，最后合并同类项得到Δ等于8减去4m。
现在我们根据方程有两个实数根的条件来求解不等式。由于方程有两个实数根，判别式必须大于等于0，即8减4m大于等于0。移项得到8大于等于4m，两边同时除以4得到2大于等于m，即m小于等于2。在数轴上表示这个解集，从负无穷到2的所有实数都满足条件。当m等于2时，方程变为x²减2x加1等于0，即括号x减1的平方等于0，此时有两个相等的实数根x等于1，验证了边界值的正确性。
最后我们通过具体例子来验证答案的正确性。当m等于2时，方程变为x²减2x加1等于0，判别式等于0，有两个相等的实数根x等于1。当m等于1时，方程变为x²减2x等于0，判别式等于4大于0，有两个不相等的实数根x等于0和2。当m等于3时，方程变为x²减2x加2等于0，判别式等于负4小于0，无实数根。这些例子验证了m小于等于2的正确性。解题步骤总结为：识别系数、计算判别式、建立不等式、求解范围。因此，实数m的取值范围是m小于等于2。