视频字幕
我们来分析这个一元二次方程问题。给定方程x²+2x-2m+1=0，要求两实数根之积为负时，实数m的取值范围。解决这个问题需要考虑两个关键条件：首先，方程必须有两个实数根，这需要判别式大于等于零；其次，两根之积为负。我们需要找到同时满足这两个条件的m的取值范围。
现在我们分析方程有两个实数根的条件。对于一元二次方程，有实数根的必要条件是判别式大于等于零。对于方程x²+2x-2m+1=0，我们有a等于1，b等于2，c等于负2m加1。计算判别式：Δ等于b²减4ac，等于4减4乘1乘负2m加1，等于4加8m减4，最终得到8m。因此，方程有两个实数根的条件是8m大于等于0，即m大于等于0。
接下来分析两根乘积为负的条件。根据韦达定理，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，两根的乘积等于c除以a。在我们的方程中，a等于1，c等于负2m加1，所以两根乘积等于负2m加1。要使两根乘积为负，需要负2m加1小于0，解得负2m小于负1，即m大于二分之一。在数轴上，这表示m的取值范围是大于二分之一的所有实数。
现在我们综合前面得到的两个条件。条件一是m大于等于0，这保证方程有两个实数根。条件二是m大于二分之一，这保证两根乘积为负。要同时满足这两个条件，我们需要求它们的交集。由于m大于二分之一已经包含了m大于等于0的部分，所以最终答案是m大于二分之一。我们可以验证边界情况：当m等于二分之一时，两根乘积为0，不满足题意；当m大于二分之一时，既保证有两个实根，又保证乘积为负。
最后我们通过具体数值验证答案的正确性。取m等于1，方程变为x²+2x-1=0。计算判别式：Δ等于4加4等于8，大于0，满足有实根的条件。计算两根乘积：根据韦达定理，乘积等于负1，小于0，满足乘积为负的条件。因此m等于1确实满足所有条件。总结解题的关键步骤：首先建立判别式条件确保方程有实根，然后利用韦达定理建立根的乘积条件，最后求两个条件的交集。这种方法适用于所有类似的一元二次方程根的性质问题。最终答案是m大于二分之一。