视频字幕
我们来分析这道关于一元二次方程的问题。题目给出方程x²+2x-2m+1=0，要求两实数根之积为负时，实数m的取值范围。解决这类问题需要同时考虑两个条件：首先，方程必须有两个实数根，这要求判别式大于0；其次，两根的乘积必须小于0。
韦达定理告诉我们，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。对于我们的方程x²+2x-2m+1=0，系数a等于1，b等于2，c等于负2m加1。因此根据韦达定理，两根之积等于负2m加1。
根据题意，两实数根之积为负，即x₁乘以x₂小于0。由韦达定理我们知道x₁乘以x₂等于负2m加1，因此需要负2m加1小于0。解这个不等式：移项得负2m小于负1，两边同时除以负2，注意不等号方向要改变，得到m大于二分之一。
要使方程有两个实数根，判别式必须大于0。判别式等于b²减去4ac。代入我们的系数：a等于1，b等于2，c等于负2m加1，计算得判别式等于4减去4倍的负2m加1，化简后得到8m。因此需要8m大于0，即m大于0。
现在综合两个必要条件。条件1是m大于二分之一，这来自根的乘积为负的要求。条件2是m大于0，这来自有两个不等实根的要求。在数轴上标示这两个条件的范围，取交集得到最终答案。由于二分之一大于0，所以交集为m大于二分之一。验证边界情况：当m等于二分之一时，根的乘积为0；当m小于二分之一时，根的乘积为正。因此答案是m大于二分之一。